Таблицы умножения, Мандельброт и сердце математики

Старые добрые таблицы умножения приводят нас к крайне будоражащему секрету, включающему в себя знаменитое множество Мандельброта, вездесущую кардиоиду и мириады скрытых красивейших закономерностей. Пришло время Mathologer'у заняться серьёзной миссией по розыску фактов.

Те из вас, кому хотелось бы немного побаловаться с поразительными диаграммами таблиц умножения, которые мы обсуждаем в видео, могут скачать этот .cdf файл, http://www.qedcat.com/cardioid.cdf , и открыть его бесплатным cdf player, который можно скачать с сайта Wolfram Research (люди, которые создали Wolfram Alpha и программу Mathematica). Если у вас есть доступ к Mathematica, вы также можете открыть мой .cdf файл в ней и поразвлечься с кодом.

Тем же из вас, кто заинтересован в решении задачек, поразмыслите над следующими:
1) Начиная с того факта, что нефроида возникает благодаря параллельным лучам, которые отражаются внутри цилиндрической кофейной чашки, постарайтесь убедить себя в том, что таблица умножения на 3 действительно производит на свет нефроиду (в этом месте скрыта кое-какая воистину изящная геометрия, очень похожая на мой аргумент про кардиоиду, о котором я говорю в конце видео). (Добавление от 8 ноября 2015 года: также советую затем прочитать доказательство этого факта по ссылке http://www.qedcat.com/nephroid_proof.pdf)
2) Почему диаграммы для всех таблиц умножения имеют горизонтальную зеркальную симметрию?
3) Попробуйте объяснить те красивые закономерности, которые наблюдались в таблицах умножения на 51 и на 99 по модулю 200, демонстрируемые мной в видео (около отметки 9:30).
4) (Для людей с глубокими познаниями в математике) Попробуйте понять, почему кардиоида возникает в множестве Мандельброта.

Открытием ошеломительных закономерностей, которые я обсуждаю в этом видео, мы все обязаны математику Саймону Плуффу (Simon Plouffe). Посмотрите его статью об этом по ссылке http://tinyurl.com/o2hbtsa , а также его веб-сайт http://plouffe.fr , если хотите найти другие потрясающие визуализации модульной арифметики.

Также много анимаций были созданы и предложены для использования в видео различными людьми, на которых имеются ссылки в комментариях. Вот одна из самых замечательных из них за авторством Матиаса Ленглера (Mathias Lengler): https://mathiaslengler.github.io/Time...

Наслаждайтесь!

Буркхард Полстер (Burkard Polster) и Джузеппе Джерачитано (Guiseppe Geracitano)

P.S.: Музыка, которая играет в конце видео, называется "Shoulder Closure", за авторством Гуннара Олсена (Gunnar Olsen). Она является частью бесплатной ютубовской музыкальной библиотеки. Очень красивая мелодия, не так ли?