Les courbes planes (Vers La Géométrie Algébrique -- Épisode I)

Cette vidéo est la première d'une série de 6 épisodes dont le but est de fournir une initiation visuelle et concrète à la géométrie algébrique. Lien vers les notes : http://www.antoinebourget.org/attachm...

- Episode I -- Les courbes planes :    • Les courbes planes (Vers La Géométrie...  
- Episode II -- La géométrie projective :    • La géométrie Projective (Vers La Géom...  
- Episode III -- Les complexes entrent en scène :    • Les complexes entrent en scène (Vers ...  
- Episode IV -- Genre et différentielles :    • Genre et différentielles (Vers La Géo...  
- Episode V -- Théorème de Riemann-Roch :
- Episode VI -- :

Dans ce premier épisode j'introduis le concept de courbe algébrique et je l'illustre avec de nombreux exemples. On voit ainsi les droites, les cercles, les coniques (ellipse, parabole, hyperbole), les cubiques, etc.
On voit ensuite des liens surprenant avec des équations diophantiennes, les triplets pythagoriciens et le grand théorème de Fermat. Mais des questions sont laissées en suspens: qu'est-ce que ce mystérieux invariant qu'est le genre ? Comment caractériser les intersections entre des courbes algébriques ? Ceci sera vu dans les épisodes suivants...




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Errata et Commentaires :
- Il ne s'agit pas vraiment d'une erreur, j'ai volontairement voulu simplifier la définition des courbes algébriques ici en me restreignant à une équation du type f(x,y)=0, mais il faut être conscient du fait qu'il s'agit seulement de courbes planes (i.e. dans le plan). Cela ne couvre pas toutes les courbes algébriques, je le montrerai dans les épisodes suivants.
- Concernant les triplets pythagoriciens, je vois en revisionnant la vidéo que j'ai pu laisser entendre qu'on les obtiens tous en prenant t entier. Ce n'est pas le cas, je voulais juste dire que t entier est une condition suffisante pour en générer une infinité, mais certains triplets ne sont obtenus qu'en prenant t rationnel.

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Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Utip.

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Plan :
00:00 Début
6:23 Exemples introductifs : courbes polynomiales
13:30 Définition des courbes algébriques planes
15:30 Exemples : cercle, coniques, intersections
21:00 Racines des polynômes
23:50 Courbes cubiques
34:02 Motivations en arithmétique : triplets pythagoriciens
40:31 Paramétrisation rationnelle du cercle
51:10 Théorème de Fermat
59:00 Questions sans réponses


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Références :
- Perrin, Géométrie Algébrique
- Shokurov, Riemann surfaces and Algebraic Curves
- Kirwan, Complex Algebraic Curves