Números Complejos en sistemas de ecuaciones con calculadoras CASIO fx-570, fx-991 y fx-GC50 ClassWiz

Este vídeo muestra cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales de coeficientes complejos con las calculadoras CASIO fx-570 fx-991 y fx-CG50 ClassWiz utilizando:
a) el método de sustitución,
b) la conversión a sistema de ecuaciones reales (convencionales)
c) la regla de Cramer (mediante las memorias de la calculadora).

El procedimiento con el modelo anterior de calculadora (ES PLUS) es muy similar, salvo que las operaciones complejas (conjugar...) no están en el menú [OPTN] sino pulsando las teclas [SHIFT] [2], y el comando recordar o RECALL no muestra en pantalla todas las memorias a la vez.

Algunas calculadoras como la HP-Prime y sus antecesoras (HP-50, 49 y 48) resuelven directamente sistemas complejos, pero son caras y están prohibidas en algunos exámenes porque son gráficas y programables.

Las calculadoras Casio FX 570, 991 y CG50 tienen una herramienta para resolver sistemas de ecuaciones lineales, pero lamentablemente ésta solo funciona con números reales.
Los métodos convencionales de resolución de sistemas de ecuaciones lineales (sustitución, igualación, eliminación, método de Gauss, método de la matriz inversa, regla de Cramer, etc.) también se pueden aplicar para resolver sistemas complejos.

Cuando uno se enfrenta a un sistema de ecuaciones complejas, conviene comprobar si se puede resolver rápidamente (o reducir su dimensión) aplicando sustitución, igualación o eliminación.

Si el sistema de ecuaciones tiene varios coeficientes nulos, yo recomiendo resolverlo por sustitución, realizando las operaciones en el modo complejo de la calculadora. Veamos el siguiente ejemplo.

El primer paso es poner la calculadora en modo complejo.
Opcionalmente puedo ajustar la unidad angular, la notación compleja por defecto y borrar las memorias.
Cuando la calculadora está en modo angular sexagesimal, en la parte superior de la pantalla aparece el símbolo D “Degrees”.
Se puede cambiar el formato complejo por defecto.
Las funciones de números complejos (módulo, argumento, conjugado…) están en el menú de opciones [OPTN], que tiene varias pantallas.
Luego eliminaríamos incógnitas empezando por aquellas que es más fácil despejar. Yo recomiendo almacenar las variables calculadas en las memorias para acelerar la resolución y evitar errores.
Las variables calculadas las podemos ver utilizando el comando [RECALL]. Para salir de esta pantalla, podemos pulsar [ON] o la tecla correspondiente a una memoria.

DESDOBLAR EN ECUACIONES CONVENCIONALES
Otra opción es desdoblar cada ecuación en dos reales, una correspondiente a la parte real y la otra correspondiente a la parte imaginaria de la igualdad.
(a + j b) (x + j y) +(c + j d) (z + j t) = e + j f
La igualdad se debe cumplir tanto para la parte real como para la parte compleja, por lo que se desdobla en dos igualdades con coeficientes reales.
La parte real se obtiene distribuyendo los coeficientes imaginarios con signos alternos:
+a x ― b y + c z ― d t = e
En la parte imaginaria, se mantienen los signos pero se alternan o intercambian las posiciones de las componentes reales e imaginarias:
b x + a y + d z + c t = f
Para recordar esto, una regla mnemotécnica es expandir un producto en parte real e imaginaria:
(a + j b) (x + j y) = (a x ― b y) + j(b x + a y)
Si utiliza esta técnica, yo recomiendo escribir previamente las ecuaciones en un papel y prestar mucha atención para no cometer errores al introducirla en la calculadora. Esta técnica requiere práctica y comprobar la transformación porque es fácil equivocarse al transcribir el sistema.

REGLA DE CRAMER
En caso de que tengamos un sistema muy acoplado que no podemos reducir su dimensión fácilmente, yo recomiendo aplicar la regla de Cramer porque en sistemas 2x2 es bastante rápido si se utilizan las memorias.
A continuación voy a resolver por Cramer un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, x e y, donde la unidad imaginaria es j.
Dado que los números complejos que aparecen en ingeniería suelen tener muchos dígitos, se recomienda hacer uso de las variables o memorias de la calculadora para disminuir el número de teclas presionadas y evitar errores en la introducción de datos. Por ello, reescribiré el sistema utilizando los coeficientes desde A hasta F:
La matriz ampliada [M|n] del sistema de ecuaciones lineales ayuda a calcular los determinantes de la regla de Cramer.
A continuación calculo el determinante de la matriz M, que en una matriz 2 x 2 es el producto de la diagonal principal menos la diagonal secundaria. Lo almaceno en la variable M.
Comprobamos que el sistema tiene solución única.
Calculamos la incógnita x = (CE-BF)/|M|, almacenando el resultado en la variable x.
El menú de opciones [OPTN] tiene, en la segunda pantalla, una opción para mostrar en formato polar. Con la tecla [S=D] vemos el resultado en dos líneas.
Por último calculamos la incógnita y = (AF-CD)/|M|, almacenando el resultado en la variable y.

Gracias por su atención y espero que este vídeo les haya sido de ayuda.