Скачать или смотреть समीकरण (Quadratic Equation) को हल करने की सम्पूर्ण विधि | Step by Step Solution in Hindi

📖 Description (लगभग 1500 शब्दों में विस्तार से)

🔹 द्विघात समीकरण क्या है?

गणित में द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) वह समीकरण होता है जिसमें किसी चर (Variable) का अधिकतम घात (Power) 2 होता है।
सामान्य रूप:

ax^2 + bx + c = 0

वास्तविक संख्याएँ हैं और

होना चाहिए।


उदाहरण:

1.


2.




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🔹 द्विघात समीकरण को हल करने के तरीके

द्विघात समीकरण हल करने के कई तरीके हैं। चलिए एक-एक करके समझते हैं:

1. गुणन विधि (Factorization Method)

इस विधि में हम समीकरण को दो रैखिक गुणकों (linear factors) में तोड़ देते हैं।

उदाहरण:

x^2 + 5x + 6 = 0

6 = 2 \times 3 \quad और \quad 2+3 = 5

x^2 + 2x + 3x + 6 = 0

x(x+2) + 3(x+2) = 0 

(x+2)(x+3) = 0

x = -2 \quad या \quad x = -3


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2. पूर्ण वर्ग विधि (Completing the Square Method)

इस विधि में समीकरण को ऐसे रूप में बदलते हैं कि LHS (बाएँ भाग) एक पूर्ण वर्ग बन जाए।

उदाहरण:

x^2 + 6x + 5 = 0

x^2 + 6x = -5 
अब जोड़ते और घटाते हैं।

x^2 + 6x + 9 - 9 = -5

(x+3)^2 - 9 = -5 

(x+3)^2 = 4

x+3 = \pm 2 
तो,

x = -3+2 = -1 \quad या \quad x = -3-2 = -5


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3. द्विघात सूत्र विधि (Quadratic Formula Method)

यह सबसे सामान्य और महत्वपूर्ण विधि है।
सूत्र:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

यदि , तो दो वास्तविक और भिन्न मूल (Real & distinct roots) होंगे।

यदि , तो दो समान वास्तविक मूल होंगे।

यदि , तो मूल कल्पनिक (Imaginary) होंगे।


उदाहरण:

2x^2 - 3x + 1 = 0

D = (-3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1

अब,

x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{1}}{2(2)}

x = \frac{3 \pm 1}{4} 

x = 1 \quad या \quad x = \frac{1}{2}


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4. ग्राफ विधि (Graphical Method)

समीकरण को हल करने का मतलब होता है कि ग्राफ x-अक्ष को जहाँ काटेगा वही मूल (Roots) होंगे।
लेकिन यह तरीका ज्यादा प्रयोग परीक्षा में नहीं किया जाता, केवल समझने के लिए प्रयोग होता है।


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🔹 विभेदक (Discriminant) की भूमिका

Discriminant मूलों के स्वरूप को बताता है:

यदि , मूल वास्तविक और असमान।

यदि , मूल वास्तविक और समान।

यदि , मूल कल्पनिक।



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🔹 द्विघात समीकरण का महत्व

द्विघात समीकरण का प्रयोग कई क्षेत्रों में होता है:

भौतिकी (Physics) में गति, प्रक्षेप्य पथ (Projectile Motion)

इंजीनियरिंग में संरचनाएँ

वित्त (Finance) में लाभ-हानि

ज्यामिति में क्षेत्रफल संबंधी समस्याएँ



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🔹 निष्कर्ष

द्विघात समीकरण गणित का अत्यंत महत्वपूर्ण हिस्सा है। इसे हल करने की विधियाँ—गुणन विधि, पूर्ण वर्ग विधि, सूत्र विधि, और ग्राफ विधि—सब उपयोगी हैं।
किसी भी प्रश्न को हल करने के लिए सबसे सरल तरीका खोजें, लेकिन यदि गुणन आसानी से न हो तो द्विघात सूत्र हमेशा सबसे पक्का और सामान्य समाधान है।

👉 याद रखें:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}


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