Mehrstufige Zufallsexperimente - Pfadregeln und Baumdiagramme - Gymnasium Wissen

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Führt man mehrere Zufallsexperimente hintereinander durch, ergibt sich ein mehr-stufiges Zufallsexperiment. Solche Modelle lassen sich mit Baumdiagrammen über-sichtlich darstellen. Ziehe drei Mal ohne Zurücklegen aus der abgebildeten Urne.

Berechne die Wahrscheinlichkeiten im obigen Zufallsexperiment für P( , , ), P( , , ) sowie P( , , ). Außerdem sind die Ereignisse A = „Es wurden weniger als zwei rote Kugeln gezogen“ und B = „Es wurde mindestens eine blaue Kugel ge-zogen“ gegeben. Nutzen Sie die Pfadregeln um auch für die Ereignisse entspre-chende Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen.

Für die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen benötigt man die 2. Pfadregel. Dabei solltest du dir zuerst die Ergebnispfade notieren, die das Ereignis erfüllen. Für Ereignis A: (b,b,b); (b,b,r); (b,r,b); (r,b,b) und für Ereignis B: (b,r,r); (r,b,r); (r,r,b); (b,b,r); (b,r,b); (r,b,b); (b,b,b);
Beginnen wir mit P(A). Mit der 2. Pfadregel lässt sich die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis A eintritt, in zwei Schritten berechnen. Zuerst benötigen wir die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse: P(b,b,b)=5/42 ; P(b,b,r)=10/63 und weil das ‚r‘ bei den anderen beiden Ergebnissen lediglich auf eine andere Stelle ‚permutiert‘ wurde, ist 10/63 auch die Wahrscheinlichkeit des dritten und vierten Ergebnispfades, also P(b,r,b)=10/63 und P(r,b,b)=10/63 . Im zweiten Schritt müssen diese Einzelwahrscheinlichkeiten addiert werden. P(A)=5/42+10/63+10/63+10/63=25/42≈0,5952=59,52% .
Für das Ereignis B können wir entweder so vorgehen, wie bei Ereignis A, oder einen Trick anwenden. Wir wissen ja, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B addiert mit der Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses B ̅ exakt ‚1‘ ergibt (also P(B)+P(B ̅ )=1). Der einzige Pfad der das Ereignis B nicht erfüllt ist (r,r,r). Dies bedeutet, dass P(B ̅ )=P(r,r,r)=1/21 . Stellen wir die obige Formel um, erhalten wir P(B)=1-P(B ̅ )=1-P(r,r,r). Somit erhalten wir P(B)=1-1/21=20/21≈0,9524=95,24% .

Trainer: „Beim Zeichnen des Baumdiagramms müssen Abzweigungen addiert immer ‚1‘ ergeben und der Nenner der Wahrscheinlichkeiten wird von einer Ebene zur nächsten immer um ‚1‘ kleiner, wenn ohne Zurücklegen gezogen wird.“

1. Forrest Gump ist die Hauptfigur in dem gleichnamigen Hollywood Film. Seine Mutter hat immer gesagt: Das Leben ist wie eine Schachtel Pralinen - du weißt nie was du bekommst. Angenommen, wir haben eine Schachtel mit 12 Pralinen. Davon seien drei mit Alkohol (a), vier mit Nuss (n) und fünf mit Pistazie (p).
Für deine Freundin und dich greifst du zwei Mal zufällig und ohne Zurücklegen in die Pralinenbox.
Erstelle ein zweistufiges Baumdiagramm zu diesem Zufallsexperiment.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine Praline mit Nuss und dann eine Praline mit Pistazie zu ziehen (n,p). Berechne die Wahrscheinlichkeit, zuerst eine Praline mit Pistazie und dann eine Praline mit Nuss zu ziehen (p,n). Was fällt dir auf?
Ermittele die Wahrscheinlichkeiten P(E1) und P(E2) mit E1 = „Keine Praline mit Alkohol“ sowie E2 = „Mindestens ein Mal Pistazie“.

2. Ein Meteorologe kann sich auf Grundlage von statistischen Daten der Vergangenheit darauf festlegen, dass im Oktober zu 3/4 Wahrscheinlichkeit auf einen Regentag auch wieder ein Regentag folgt. Ist es an einem Tag im Oktober regenfrei, so wird es auch am folgenden Tag zu 2/5 Wahrscheinlichkeit regenfrei sein. Heute ist Mittwoch, der 10. Oktober und es regnet.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit kann man am kommenden Samstag einen regenfreien Tag beim Wandern erleben?
Geben Sie an, ob die Wahrscheinlichkeit größer oder kleiner als 10 % ist, dass es bis Sonntag höchstens einmal regnet. Der heutige Regentag zählt nicht dazu.

3. Beim Elfmeterschießen trifft Müller in 85 %, Götze in 70 % und Hector in 64 % der Fälle. In der WM treten sie gegen Italien in dieser Reihenfolge an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer trifft. Tipp: Rechnen Sie mit der Gegenwahrscheinlichkeit, bzw. mit dem Gegenereignis.


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