Скачать или смотреть Cours d'agreg (7/8) sur les fonctions holomorphes: Transformée de Fourier de la loi de Cauchy

Comment calculer la transformée de Fourier d'une fonction comme la densité de Cauchy ? Dans cette vidéo, on voit une application directe et puissante du théorème des résidus pour résoudre cette intégrale, un calcul qui serait bien plus complexe avec les outils de l'analyse réelle seule.

C'est un exemple classique et incontournable pour quiconque étudie l'analyse complexe, et un excellent exercice pour l'agrégation.

Le plan de la démonstration :

Le calcul de l'intégrale sur le contour : On choisit un contour semi-circulaire et on applique le théorème des résidus pour évaluer l'intégrale complexe en son unique pôle, z=i.

La majoration sur le demi-cercle : On montre rigoureusement que la contribution de l'intégrale sur la partie circulaire du contour tend vers zéro lorsque le rayon devient infini.

La conclusion : En passant à la limite, on isole l'intégrale sur l'axe réel et on trouve la valeur de la transformée de Fourier : e ^−|t|.

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