Hauptteil und Nebenteil der Laurentreihe, Funktionentheorie (Folge 302)

Was versteht man unter dem Hauptteil beziehungsweise dem Nebenteil der Laurentreihe und warum haben holomorphe Funktionen, die auf einer offenen Kreisscheibe um den Ursprung herum definiert sind, nur den Nebenteil einer Laurentreihe?

Dipl. Physiker Dietmar Haase erklärt in diesem Video, was man unter dem Hauptteil und was man unter dem Nebenteil einer Laurentreihe versteht. Es wird gezeigt, dass die Laurentreihe einer auf einer offenen Kreisscheibe um den Urprung herum definierten holomorphen Funktion nur aus dem Nebenteil besteht und damit eine reine Potenzreihe beziehungsweise eine Taylorreihe ist. An ausgewählten Beispielaufgaben wird gezeigt, wie man den Hauptteil und den Nebenteil einer Laurentreihe bestimmt und wie man den Konvergenzbereich für den Hauptteil und den Nebenteil der Laurentreihe ermittelt. Dabei zeigt sich, dass man zur Berechnung der Koeffizienten der Laurentreihe in vielen Fällen nicht die nur aufwendig zu bestimmenden geschlossenen Kurvenintegrale auswerten muss, sondern vielmehr die
Eigenschaften der geometrischen Reihe ausnutzt beziehungsweise die Reihendarstellungen der Funktion selbst verwendet.

Eine Vielzahl von Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungen zu diesem Thema finden Sie im Lehr- und Übungsbuch ”Angewandte Mathematik für Ingenieure” Band 11: Funktionentheorie

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