Irrfahrten auf den ganzen Zahlen: Maximum

Eine symmetrische Irrfahrt der Länge n auf den ganzen Zahlen verwendet stochastisch unabhängige Zufallsvariablen X_1,....,X_{n}, die jeweils die Werte 1 und -1 mit gleicher Wahrscheinlichkeit 0.5 annehmen. Setzt man S_0=0 und S_k = X_1+ ... + X_k für jedes k größer als null, so kann man sich den Verlauf der Irrfahrt in einem rechtwinkligen Koordinatensystem veranschaulichen, wenn man die Punkte (0,S_0), (1,S_1) , ,,, , (n,S_{n}) miteinander verbindet. Deutet man die erste Koordinate als in den diskreten Punkten 0,1,2, ...,n gemessene Zeit, so geht es in diesem Video um die Verteilung der maximalen Höhe dieser Irrfahrt, also um die Verteilung des Maximums von S_0,S_1, ..., S_n. Interessanterweise hängt diese Verteilung nur von der Veteilung von S_n ab. Beim Grenzübergang n gegen unendlich konvergiert dieses Maximum nach Division durch die Wurzel aus n gegen den Betrag einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen.