Скачать или смотреть 【灘速報】2つの二次方程式をつなぐ発想

#灘高入試 #2026年度 #二次方程式 #解と係数の関係 #高校入試数学

■ 問題

灘高入試
2026年度 速報

x^2 − sx − t = 0 の2つの解が −3, u

x^2 − sx + t = 0 の2つの解の差が 7

ただし s, t, u は定数で s ＞ 0 とする。

このとき u の値を求めよ。

■ 解き方

まず1つ目の方程式について、解と係数の関係を用いる。

x^2 − sx − t = 0 の解が −3, u なので

解の和より

−3 + u = s ……(1)

解の積より

(−3)u = −t

よって

t = 3u ……(2)

次に2つ目の方程式

x^2 − sx + t = 0

の2つの解を α, β とする。

解の和は

α + β = s

解の積は

αβ = t

ここで解の差が7なので

(α − β)^2 = 49

二次方程式では

(α − β)^2 = (α + β)^2 − 4αβ

が成り立つから

49 = s^2 − 4t ……(3)

■ 代入して整理

(1)(2) を (3) に代入する。

s = u − 3
t = 3u

よって

49 = (u − 3)^2 − 12u

展開して

49 = u^2 − 6u + 9 − 12u

49 = u^2 − 18u + 9

整理して

u^2 − 18u − 40 = 0

■ 方程式を解く

u^2 − 18u − 40 = 0

= (u − 20)(u + 2)

したがって

u = 20 または −2

■ 条件確認

s ＞ 0 より

s = u − 3 ＞ 0

したがって

u ＞ 3

これを満たすのは

u = 20

■ 答え

u = 20

■ まとめメモ

・解の差は平方して扱う
・(α−β)^2 = (α+β)^2 − 4αβ が核心
・文字が多い問題ほど関係式を整理すると一気に進む

灘らしい「式の意味を理解しているか」を問う良問です。

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