Gruppenoperationen: Bahn, Stabilisator, Bahnformel, Fixpunktmenge, uvm.

Eine Gruppenoperation bzw. Gruppenwirkung oder Gruppenaktion genannt, ist ein mächtiges Werkzeug der Algebra, dessen Potential in dieser Videoreihe ausgeschöpft werden soll.
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Inhaltsverzeichnis
0:00 Definition einer Gruppenoperation
2:06 Rechts- und Linksoperation
4:10 Drehgruppe des Oktaeders
6:30 Operation auf regulärem 3-Eck
7:05 Zugehöriger Homomorphismus
7:35 Bahn (Orbit), Bahnabbildung, Bahnraum
11:37 Transitive Operation, scharf transitiv
13:26 Stabilisator und Fixpunktmenge
14:43 Freie und treue Operationen
15:23 Bahnformel
17:37 Beispiel der Bahnformel
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Nachtrag zu: 15:55

Satz: Sei U eine Untergruppe von G und a,b∈G. Dann gilt: aU=bU ⇔ a⁻¹b∈U (*)

Beweis:

Lemma: aU=U ⇔ a∈U (#)

Wir beweisen zunächst, dass aU=U genau dann der Fall ist, wenn a∈U. Falls mit u∈U auch au=u'∈aU=U liegt, so folgt a=u'u⁻¹∈U. Ist hingegen a∈U, so gilt aU⊆U, a⁻¹U⊆U und damit auch U=a(a⁻¹U)⊆Ua.

Der Satz (*) folgt dann aus (#), weil aU=bU ⇔ U=a⁻¹bU ist.
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Attribution:
Das Bild der Durchdringung aus fünf Tetraedern im Thumbnail ist mit Robert Webbs Stella software erstellt worden: http://www.software3d.com/Stella.php

(Quelle: https://commons.wikimedia.org/wiki/Fi...)