#02. Topologie sur R

Ce deuxième épisode consacré à la topologie générale est accessible dès le niveau Bac+1. le premier épisode se situait dans un cadre de vulgarisation scientifique.

Nous introduisons ici les notions élémentaires de topologie générale de manière plus technique.

Pour cela, nous utilisons la droite des réels, un espace topologique qui nous est familier depuis le collège. Les notions fondamentales topologie générale que sont la notion de voisinage de la notion d’ouvert sont définis dans le cadre des espaces métriques est donc plus particulièrement dans le cas de la droite des réels.

1. Les intervalles dans R
Intervalles fermés, intervalles ouverts, intervalles semi-ouverts…
Intervalles non bornés.
Comment définir la notion d’intervalle ?
Définition de la notion de segment.
Définition de la convexité.
Caractérisation des parties convexes de IR : les intervalles de IR sont justement les parties convexes de IR.
Définition d’un intervalle.
Union de deux intervalles, intersection de deux intervalles.

Qu’est-ce qu’un espace métrique ?
Qu’est-ce qu’une distance ?

2. Boules ouvertes et boules fermées
Définition d’une boule ouverte
Les boules ouvertes dans IR, ce sont les intervalles ouverts de IR.
Les boules fermées dans IR, ce sont les intervalles fermés de IR.
La notion de boule ouverte dans l’ensemble des nombres complexes.

3. Voisinage d’un point
Définition d’un voisinage (Felix Hausdorff, 1914)
Exemple visuel de voisinage d’un point
La notion de voisinage dans R
Exemple de voisinage sur la droite des réels
Un cas un peu curieux lorsque E = [0, 1]
Voisinage de l’infini dans R
À quoi sert la notion de voisinage ?
Définition de la notion de limite à l’aide des voisinages

4. Intérieur, adhérence et frontière
La notion de point intérieur
Illustration visuelle de la notion de point intérieur
La notion de point intérieur dans IR
Définition de l’intérieur d’une partie
Propriétés de l’intérieur d’une partie
Définition de la notion de point intérieur
Notion de point adhérent dans R
Définition de l’adhérence
Exemples d’adhérence (de fermeture) dans R
Définition de la notion de frontière d’une partie
Exemples de frontière dans R

5. Notions d’ouverts de fermés
La définition des ouverts et des fermés a été donnée par Felix Hausdorff en 1914 dans son ouvrage Grundzüge der Mengenlehre.
Définition d’un ouvert dans un espace métrique
E et Ø, l’ensemble vide, sont à la fois des ouverts et des fermés.
La notion d’ouvert n’est pas le contraire de la notion de fermé !
Boules ouvertes et ouverts : les boules ouvertes sont bien des ouverts.
Toute boule fermée est bien un fermé.
Ouverts et fermés dans R.
Toute réunion d’ouverts de E est un ouvert de E.
Toute intersection finie d’ouverts de E est un ouvert de E.

6. Une définition topologique de la continuité
Définition de Hausdorff de la continuité dans un espace métrique.
Exemples de fonctions continues sur R.

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