Demonstração por absurdo 😱 - Teoria e Exercícios

A demonstração por absurdo é uma técnica de prova matemática que se baseia na contradição. Ela é usada para provar que uma afirmação é verdadeira, mostrando que, se ela fosse falsa, algo contraditório aconteceria.

Exemplo:
Mostre que todos os números pares são divisíveis por 2.
Demonstração por absurdo:
Supor que seja falsa, ou seja, que exista pelo menos um número par que não é divisível por 2.

Vamos supor que esse número existe e seja representado por x.
Se x é par, então ele pode ser escrito como 2k, onde k ∈ ℤ.
Mas, se x não é divisível por 2, então ele não pode ser escrito como 2k.
Isso é uma contradição!
Logo, a suposição inicial de que existia um número par que não era divisível por 2 estava errada.
Portanto, podemos concluir que a proposição inicial é verdadeira:
Todos os números pares são divisíveis por 2.

Como p → q ⇔ ¬p ∨ q,
então ¬(p → q) ⇔ ¬(¬p ∨ q).

Pela Lei de De Morgan, temos: ¬(¬p ∨ q) ⇔ p ∧ ¬q.
Um enunciado só pode ser verdadeiro ou falso.

Para mostrar que p → q seja verdadeira por contradição, “trabalhamos” com a expressão p ∧ ¬q.
Supõe-se que a hipótese p seja verdadeira e a tese q seja falsa, a fim de, após uma sequência de argumentos válidos, chegar em uma conclusão contraditória.

Uma vez que a hipótese contraditória conduziu a um absurdo, concluímos que negar a tese foi um erro e, portanto, a tese é verdadeira.

Exercícios
1º] Demonstre que a soma de dois números pares é sempre um número par.

Conjectura: A soma de dois números pares é sempre um número par.
Demonstração por absurdo:
Supor que seja falsa: ou seja, que a soma de dois números pares é um número ímpar.
Sejam x e y dois números pares quaisquer.
Então, podemos escrever x = 2a e y = 2b, onde a e b são números inteiros.
Assim, a soma de x e y é:

x + y = 2a + 2b = 2(a + b)

Observe que 2(a + b) é um número par, pois é o dobro de um número inteiro.
Isso é uma contradição!
Logo, a suposição inicial de que a soma de dois números pares é um número ímpar, estava errada.

Portanto, a soma de dois números pares é sempre um número par.

2º] Prove que √𝟐 é um número irracional.

Conjectura: √𝟐 é um número irracional, ou seja √𝟐 ∉ ℚ.
Demonstração por absurdo:
Supor que seja falsa:
ou seja, que √𝟐 ∈ ℚ.

Seja √𝟐 ∈ ℚ, então existem m, n ∈ ℤ com n ≠ 0 tal que √𝟐 = 𝒎/𝒏.
Sem perda de generalidade, consideremos m e n primos entre si.
Dessa forma, elevando ambos os lados ao quadrado, temos: 2 = 𝒎²/𝒏²
⇒ 2n² = m²
⇒ m² é par
Assim, existe k ∈ IN tal que m = 2k
Substituindo em 2n² = m², temos:
2n² = (2k)²
⇒ n² é par
Logo 2|m e 2|n.
Mas isso é uma contradição!

Pois contradiz nossa hipótese de que m e n são primos entre si.
Assim, √𝟐 não pode ser escrita como uma fração 𝒎/𝒏 .
Logo, a suposição inicial de que √𝟐 ∈ ℚ estava errada.
Portanto √𝟐 é um número irracional.