Пи ИРРАЦИОНАЛЬНО: анимация великолепного доказательства

Это видео -- моя лучшая попытка анимировать и объяснить моё любимое доказательство того факта, что π -- иррациональное число. Оно обязано своим возникновением швейцарскому математику Йоганну Ламберту (Johann Lambert), который опубликовал его более 250 лет назад.

Оригинальная рукопись Ламберта состоит из 58 страниц и точно не для слабонервных (http://www.kuttaka.org/~JHL/L1768b.pdf). С другой стороны, среди всех доказательств иррациональности π, ламбертово доказательство, пожалуй, самое "естественное". Его проще всего мотивировать и объяснить, а также оно идеально подходит для того рода анимации, которой я занимаюсь.

Так или иначе, снять это видео было невероятно тяжело, и в ретроспективе оно является, вероятно, самым амбициозным из всех тем, которые я когда-либо покрывал на этом канале. Я очень надеюсь, что многие из вас смогут извлечь что-то из него. Если это будет так, пожалуйста, дайте мне знать :) Также, как всегда, я буду очень благодарен за помощь с субтитрами на вашем родном языке (английские и русские уже под контролем, но все остальные пригодятся).

Одна из лучших коротких версий ламбертового доказательства содержится в книге "Autour du nombre π" за авторством Жана-Пьера Лаффона и Пьера Эймара (Jean-Pierre Lafon and Pierre Eymard). В частности, в ней авторы вычисляют точную формулу для n-ой усечённой дроби в ламбертовой формуле для тангенса; вот её изображение с некоторыми выделениями от меня: http://www.qedcat.com/misc/chopped.png
Присмотритесь, и вы увидите, что, когда n стремится к бесконечности, все выделенные члены стремятся к 1. В результате остаётся ряды Маклорена для sin(x) в числителе и для cos(x) в знаменателе, что играет важную роль в доказательстве того, что те усечённые дроби действительно стремятся к tan(x).

Хорошее резюме остальных доказательств иррациональности π находится на этой странице в Википедии: https://en.wikipedia.org/wiki/Proof_t...

Сегодняшнюю футболку я достал в "Zazzle": https://www.zazzle.com.au/25_dec_31_o...
(есть довольно много мест, где продаются футболки с "(HO)^3")

Если вам понравилось это видео, возможно, вам стоит также посмотреть другие мои видео на темы иррациональных и трансцендентных чисел, непрерывных дробей и других бесконечных выражений. Видео о непрерывных дробях, на которое я ссылаюсь в видео, -- это моё видео о самом иррациональном числе на свете:    • Infinite fractions and the most irrat...  

Особая благодарность моему другу Марти Россу за обратную связь и помощь со слайд-шоу и за остроумные подколки в процессе записи видео. А также спасибо Данилу Дмитриеву за его продолжающуюся поддержку канала русскими субтитрами.

С Рождеством!

Буркхард (Burkard)