Injektiv Surjektiv Bijektiv Teil 1 Einführung Erklärung Bsp (Lineare Algebra, Analysis, Algebra)

In der Mathematik stoßt man auf injektive, surjektive und bijektive Abbildungen. Wir wollen uns nun damit beschäftigen, indem wir hier im 1. Teil diese Begriffe mit ihren wichtigen Eigenschaften und Bedeutungen einführen und erklären und lösen anschließend in mehreren Teilen Aufgaben, um sie besser zu verstehen und zu verinnerlichen.

Eine Abbildung f zwischen zwei Mengen A und B heißt injektiv (lat. Iacere „werfen“), falls für alle Elemente a_1, a_2 aus A mit f(a_1)=f(a_2) folgt, dass a_1=a_2. Dies ist äquivalent dazu, dass wenn a_1 ungleich a_2 ist, dass darauf folgt, dass f(a_1) ungleich f(a_2) ist. D. h. jedes b aus B hat höchstens einen Urbild.
Wichtig bei linearen Abbildungen ist, dass die Abbildung genau dann injektiv ist, wenn ihr Kern trivial ist.
Analog auch bei Homomorphismen.
Aus der Analysis wissen wir, dass für jede stetige reellwertige Funktion f auf einem reellen Intervall gilt: f ist genau dann injektiv, wenn sie in ihrem ganzen Definitionsbereich streng monoton wachsend oder fallend ist. Z. B kann eine Funktion mit mindestens zwei verschiedenen Nullstellen nicht injektiv sein.

Eine Abbildung f zwischen Mengen A und B heißt surjektiv (franz. sur „auf“), falls für alle b aus B ein a aus A existiert, so dass f(a)=b. D. h. jedes b aus B hat mindestens einen Urbild und alles in der Zielmenge wird getroffen. Somit ist jede Funktion, die man auf ihr Bild einschränkt, surjektiv. Wichtig hier ist dann die Stetigkeit, der Zwischenwertsatz und der Limes.

Die Abbildung heißt bijektiv, falls sie injektiv und surjektiv ist. D. h. jedes b aus B hat genau einen Urbild und somit existiert auch eine Umkehrabbildung. Man spricht auch hier von einem Isomorphismus.

Der Isomorphiesatz besagt, dass für eine lineare Abbildung gilt: Definitionsbereich modulo Kern macht die Abbildung immer injektiv und man erhält somit eine Bijektion zwischen dem Definitionsbereichen modulo Kern und ihrem Bild.

Als Einführungsbeispiel betrachten wir f(x)=x^2

Teil 2 (Aufgaben Lösungen):
   • Injektiv Surjektiv Bijektiv Teil 2 Au...  

Teil 3 (Aufgaben Lösungen Komposition Determinante):
   • Injektiv Surjektiv Bijektiv Teil 3 Ko...  

Teil 4 (Aufgaben Lösungen Linear Unabhängig Parameter):
   • Injektiv Surjektiv Bijektiv Teil 4 Li...  

Teil 5 (Isomorphismus Homomorphismus Aufgaben Lösungen):
   • Injektiv Surjektiv Bijektiv Teil 5 Is...  

Beweis für „lineare Abbildung ist injektiv genau dann, wenn ihr Kern trivial ist“:
   • Lineare Abbildung Injektiv Kern (gena...  

Beweis für „Konjugation ist ein Gruppenisomorphismus, d. h. Homomorphismus und bijektiv, also injektiv und surjektiv“:
   • Konjugation Gruppenisomorphismus - Be...  

Mathematik, Lineare Algebra, Analysis, Algebra, injektiv, surjektiv, bijektiv, Einführung, Erklärung, wichtig, Eigenschaften, erklärt, einfach, cool, Abbildung, Kern, trivial, Bild, stetig, zwischenwertsatz, streng monoton, wachsend, fallend, stetigkeit, Definition, Urbild, Homomorphismus, Isomorphismus, Isomorphiesatz, modulo, Zielmenge, Aufgabe, Lösung, Übung, Klausur, Staatsexamen, Prüfung, Tutorium, Uni, Universität, lineare, Umkehrabbildung, Funktion, Hochschule