Komplexe Zahlen. Definition, Gaußsche Zahlenebene, Realteil, Imaginärteil, Addition, Multiplikation, Division, Betrag, Polarkoordinaten, Eulersche Identität, Eulersche Formel.
KORREKTUR:
Es sollte eher heißen: π ist ein gestreckter Winkel, denn als Vollwinkel bezeichnet man 360° bzw. 2π.
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Liedtext:
Vielleicht kennst du die reellen Zahlen – die sind ja beliebt,
so wie 2 oder −1/3 oder Pi,
aber was es bei reellen Zahlen leider nicht gibt,
ist eine Zahl, die quadriert −1 ergibt.
Doch bevor man so 'ne Gleichung einfach gar nicht lösen kann,
fangen wir an, mit dem, was man in Mathematik jederzeit kann:
Wir definieren einfach was und diese immerwährende Freiheit
nutzen wir und sagen: Es gibt jetzt eine imaginäre Einheit
i und i² ist −1
und vielleicht fragst du dich: Bitte wo soll das denn sein?
Auf dem Zahlenstrahl ist doch gar kein Platz mehr für i!
Ja, ich weiß. Weil i nämlich außerhalb liegt.
Aber nicht einzeln isoliert, denn wir müssen nicht nur i,
sondern zum Rechnen auch noch Vielfache von i mit definieren
und wenn man mit reellen Zahlen jeweils addieren können soll,
steht hier die Menge der komplexen Zahlen. Ist doch toll!
Komplexe Zahlen sind definiert
als jeweils reelle Zahl plus ein Vielfaches von i
und durch Real- und Imaginärteil haben wir es nun
mit einer ganzen Ebene von Zahlen zu tun.
OK. Bisher hat man nur eine Menge, aber dann
ist ja das Schöne daran, dass man hier auch rechnen kann.
Die Addition ist dabei jeweils so definiert,
dass man die Real- und Imaginärteile jeweils addiert.
Okay. Und jetzt muss man sich mal überlegen:
Was sollte denn die Multiplikation hier ergeben?
Nun ja: Wenn man hier wie gewohnt ausmultipliziert,
wird im letzten Summanden ja das i quadriert,
aber das soll -1 sein und so sieht man ein:
Die Multiplikation muss genau so hier sein.
Doch was ist, wenn man mit komplexen Zahlen dividiert?
Nun: Da wird der Nenner erst komplex konjugiert,
das heißt: Beim Imaginärteil wird das Vorzeichen gedreht
und wird der Bruch dann damit erweitert, dann steht
letzten Endes nur eine reelle Zahl im Nenner da
und somit ist die Division jetzt auch noch klar.
Refrain
Aber leider kann man komplexe Zahlen nicht vergleichen!
Doch um sowas wie die "Größe" anzugeben, kann es manchmal reichen,
den Betrag zu nehmen und das ist
die Entfernung bis zur Null und diese misst
man im rechtwinkligen Dreieck mit Real- und Imaginärteilen
als Wurzel aus der Summe der Quadrate der beiden
und genau so ist der Betrag definiert und ich seh gleich:
Alle Zahlen mit dem gleichen Betrag liegen auf einem Kreis
und dessen Radius ist der Betrag
und wenn ich dazu auch noch den Winkel hab,
der sich dann hier mit der Achse des Realteils ergibt,
dann weiß ich ja genau, wo die Zahl dann liegt.
Und genau diese beiden Angaben
von Radius und Winkel sind die Polarkoordinaten,
wo der Radius streckt und der Winkel rotiert.
Soweit alles gecheckt und im Kopf notiert?
Refrain
Und übrigens kann man auch vieles bildlich sehen.
Die Addition kann man zum Beispiel als Verschiebung verstehen
oder die Zahlen so wie Vektoren im R² bequem
hier als Pfeile aneinander setzen – würde auch gehen.
Und die Multiplikation ist dann auch ganz nett:
Man fixiert die 0 und schiebt die 1 aufs z
und in Polarkoordinaten sieht man, was hier passiert:
Beim Radius wird multipliziert, aber bei beim Winkel: Addiert!
Hier wird aus "Mal" quasi "Plus" gemacht,
genau das, was die Exponentialfunktion macht.
Setzt man i mal phi nämlich in diese ein,
wird das mit Betrag 1 genau der Winkel phi sein
und mit dem Radius skaliert können wir die Polarform angeben
und zum Schluss würde ich jetzt e hoch i mal Pi noch nehmen,
denn Pi ist ein voller Winkel und deswegen steht
man hier bei −1. Die Eulersche Identität.
Refrain
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