Визуализация иррациональности чисел при помощи трёхсторонних квадратов

Приготовьтесь увидеть совершенно новые и очень красивые визуальные доказательства того факта, что корень из 2, корень из 3, корень из 5 и корень из 6 являются иррациональными числами.

Иррациональность корня из 2 можно трансформировать в следующий факт: уравнение x^2+x^2 = y^2 не имеет решений в положительных целых числах. Иррациональность корня из 3, похожим образом, означает, что уравнение x^2+x^2+x^2 = y^2 не имеет положительных целых решений, и т.д.

Что мне кажется очень привлекательным в представленных доказательствах, так это то, что разрушительная сила этих доказательств от противного также ведёт секретную вторую жизнь, созидательную, в которой рождает на свет бесконечно много так называемых "ближайших псевдо-решений" к нашим невозможным уравнениям. В качестве примера, 15^2+15^2+15^2 = 26^2-1.

Вот статья за авторством Стивена Миллера (Stephen J. Miller) и Давида Монтагью (David Montague), в которой было впервые представлено основное доказательство для корня из 3 и пятиугольное для корня из 5, давшее начало тем хореографиям, которые я показываю в видео.

Сноски, о которых я говорю в конце видео:
- наши ближайшие псевдо-решения, например 15^2+15^2+15^2=26^2-1, соответствуют решениям уравнения y^2-n*x^2 = 1, где n = 2, 3, 5 и 6. Это знаменитое уравнения Пелля, которое, как оказалось, имеет решение для всех n, не являющихся квадратами.
- существует другой тип ближайших псевдо-решений, таких как 4^2+4^2+4^2 = 7^2+1 (плюс вместо минуса на конце). Начиная с одной из наших хореографий, попробуйте сгенерировать все остальные ближайшие псевдо-решения этого типа.
- оригинальная хореография Тенненбаума, с настоящими квадратами, и первая наша загадка про хореографию корня из 3, могут генерировать оба типа ближайших псевдо-решений, начиная с любого ближайшего псевдо-решения.
- точные аппроксимации различных корней, соответствующие ближайшим псевдо-решениям, являются частичными дробями, полученными из разложения этих корней в непрерывную дробь.
- и ещё много-много других вещей можно здесь сказать, но мы приближаемся к лимиту слов для описаний, так что я лучше остановлюсь :)

Спасибо большое Марти (Marty) за все его замечания и правки к сценарию этого видео, а также Данилу за его продолжающуюся поддержку канала русскими субтитрами.

Сегодняшняя футболка - это потрясающая футболка про квадратный корень (загуглите "square root tshirt"). Заметьте, что дерево на ней выглядит как знак квадратного корня, и кроме того, корни самого дерева действительно квадратные.

Наслаждайтесь!

Буркхард (Burkard)