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Baricentro di una sezione composta da profilati metallici
Il calcolo delle coordinate XG e YG del Baricentro di una sezione composta da profilati metallici è un'operazione fondamentale nell'analisi strutturale per determinare il baricentro, o centro di massa, della sezione. Il caso è particolarmente interessante perché riguarda uno dei materiali da costruzione più presenti sul territorio: l’acciaio. Nel caso in esame rileviamo subito l’assenza di assi di simmetria. Definite accuratamente le misure della sezione istituiamo un sistema di riferimento con origine nello spigolo più in basso e più a sinistra della sezione stessa.
Le formule utilizzate.
La sezione è composta da tre profilati metallici e due lamiere. I profilati metallici son un UNP200, un IPE160, un L150x100x14. La prima lamiera è 520x800 mm spessore 14 mm. La seconda lamiera sagomata a L ha spessore 10 mm. Nella videolezione troverete il disegno esecutivo. L’elemento metallico oggetto del calcolo è descritto anche in grafica 3D. Suddivideremo la sezione in sei elementi di cui tre profilati, quelli descritti prima, e tre elementi rettangolari di lamiera metallica. Tutte le misure utili per i profilati come l’area della sezione, gli spessori, le varie misure, la posizione del baricentro, sono fornite nelle tabelle dei profilati o profilari facilmente reperibili on line. Per calcolare le coordinate baricentriche XG e YG si utilizzano le formule basate su una media pesata delle coordinate dei baricentri delle singole parti che compongono la sezione.
Le formule sono:
XG=Sy/Atot e YG=Sx/Atot
dove:
Sy è il momento statico della sezione rispetto all’asse y
Sx è il momento statico della sezione rispetto all’asse x
Atot è l’area totale della sezione
Le stesse formule possono essere scritte in termini di integrali:
XG=Integrale(x.dA)/Integrale(dA) e YG= Integrale(y.dA)/Integrale(dA)
Nello specifico converrà usare le formule discretizzate in termini di sommatoria:
XG=Sommatoria(xi.Ai)/Sommatoria(Ai) e YG= Sommatoria(yi.Ai)/Sommatoria(Ai)
Le sommatorie si estendono da 1 a n in funzione del numero di componenti nelle quali è possibile suddividere la sezione. Nel caso in esame avremo sei figure: tre profilati e tre rettangoli di lamiera. Quindi le sommatorie si estenderanno da 1 a 6.
Le specifiche di ciascuno dei tre profilati sono le seguenti:
Ai area del profilato i-esimo
xi coordinata x del baricentro del profilato i-esimo
yi coordinata y del baricentro del profilato i-esimo
Le specifiche dei tre rettangoli di lamiera sono le seguenti:
bi base del rettangolo i-esimo
hi altezza del rettangolo i-esimo
Ai area del rettangolo i-esimo
xi coordinata x del baricentro del rettangolo i-esimo
yi coordinata y del baricentro del rettangolo i-esimo
L’area i-esima si calcola con la formula Ai=bi.hi
La procedura di calcolo.
Preliminarmente osserviamo che la sezione in oggetto non è dotata di assi di simmetria, di conseguenza dovremo calcolare la coordinata XG e anche la coordinata YG.
E allora per eseguire i calcoli adottiamo questa procedura:
(1) Suddivisione della sezione in elementi semplici, profilati di area A1, A2, A3, rettangoli di area A4, A5, A6.
(2) Si individuano le coordinate baricentriche di ciascun elemento rispetto all’origine, xi e yi
(3) Si applicano la formule sopra citate per ottenere XG e YG.
In questo caso, come in numerosi altri, faremo un uso esteso del foglio elettronico che faciliterà moltissimo i calcoli. I dettagli li troverete nella videolezione.
Introduzione di forature.
Le forature nella sezione sono a tutti gli effetti dei “vuoti” e come tali le loro aree vanno portate nel calcolo in detrazione. In questo caso avremo sette “vuoti” rettangolari da inserire nel calcolo utilizzando lo stesso foglio elettronico di prima. Le sette aree vuote saranno numerate da 7 a 13, -A7, -A8, -A9, -A10, -A11, -A12, -A13.
Conclusioni.
Le coordinate baricentriche della sezione originaria (senza forature) saranno XG=290,18 mm YG=141,80 mm.
Le coordinate baricentriche della sezione forata saranno XG=288,49 mm YG=138,01 mm.
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