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Baricentro di una sezione a cassone
Il calcolo delle coordinate XG e YG del baricentro di una sezione a cassone è un'operazione fondamentale nell'analisi strutturale per determinare il baricentro, o centro di massa, della sezione. Il caso è particolarmente interessante perché riguarda una delle strutture più presenti sul territorio: il ponte con impalcato a cassone. Nel caso in esame rileviamo subito la presenza di un asse di simmetria verticale coincidente con l’asse Y del sistema di riferimento XY che abbiamo adottato. Tale sistema ha origine nel punto centrale della base del cassone stesso.
Le formule utilizzate.
La sezione a cassone è tipicamente a forma trapezia cava quindi composta da una parte “piena” ed una parte “vuota” . Il tutto è descritto nella videolezione, in grafica 3D. Suddivideremo la sezione, sia la parte piena che quella vuota, in figure più semplici, precisamente otto triangoli, di cui quattro pieni e quattro vuoti, e cinque rettangoli, di cui tre pieni e due vuoti. In tutto tredici figure semplici.
Per calcolare le coordinate baricentriche XG e YG si utilizzano le formule basate su una media pesata delle coordinate dei baricentri delle singole parti che compongono la sezione.
Le formule sono:
XG=Sy/Atot e YG=Sx/Atot
dove:
Sy è il momento statico della sezione rispetto all’asse y
Sx è il momento statico della sezione rispetto all’asse x
Atot è l’area totale della sezione
Le stesse formule possono essere scritte in termini di integrali:
XG=Integrale(x.dA)/Integrale(dA) e YG= Integrale(y.dA)/Integrale(dA)
Nello specifico converrà usare le formule discretizzate in termini di sommatoria:
XG=Sommatoria(xi.Ai)/Sommatoria(Ai) e YG= Sommatoria(yi.Ai)/Sommatoria(Ai)
Le sommatorie si estendono da 1 a n in funzione del numero di rettangoli (o altre figure semplici) nelle quali è possibile suddividere la sezione. Nel caso in esame le figure semplici (rettangoli e triangoli) saranno tredici, sette “piene” e sei “vuote”.
Le specifiche di ciascuna figura semplice (rettangoli e triangoli) sono le seguenti:
ci coefficiente di forma (vale 1 per i rettangoli e 0,5 per i triangoli, assume valore positivo per i pieni e negativo per i vuoti)
bi base della figura i-esima
hi altezza della figura i-esima
Ai area della figura i-esima
xi coordinata x del baricentro della figura i-esima
yi coordinata y del baricentro della figura i-esima
L’area i-esima si calcola con la formula Ai=ci.bi.hi
La procedura di calcolo.
Preliminarmente osserviamo che la sezione in oggetto è dotata di un asse di simmetria verticale coincidente con l’asse Y e che, di conseguenza, la coordinata XG sarà pari a zero poiché il baricentro sta sempre sugli assi di simmetria. Il che ci porta a concludere che dovremo calcolare solo YG.
E allora per eseguire i calcoli adottiamo questa procedura:
(1) Suddivisione in figure più semplici, rettangoli pieni di area A2, A5, A7, rettangoli vuoti di area A9, A12, triangoli pieni di area A1, A3, A4, A6, e triangoli vuoti di area A8, A10, A11, A13.
(2) Si individuano le coordinate baricentriche di ciascuna figura all’origine, xi e yi
(2) Si applica la formula sopra citata per ottenere YG.
In questo caso faremo un uso esteso del foglio elettronico che faciliterà moltissimo i calcoli. I dettagli li troverete nella videolezione.
Conclusioni.
La coordinata baricentrica YG della sezione da ponte proposta varrà 2,58 metri.
Qui di seguito i riferimenti per accedere alle lezioni precedenti
Baricentri di figure piane semplici    • Baricentri di figure piane semplci  
Baricentri di sezioni a doppio T    • Baricentri di sezioni a doppio T  
Baricentro del trapezio senza gli integrali    • Calcolo delle coordinate baricentriche del...  
Baricentro del trapezio con gli integrali    • Calcolo del Baricentro del Trapezio con gl...  
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