Demonstração por Contrapositiva - Teoria e Exercícios

A demonstração por contrapositiva consiste na negação da tese implicando na negação da hipótese.
~ q ⇒ ~ p ou seja
~ tese ⇒ ~ hipótese.

Portanto a proposição composta:
P ⇒ Q ⇔ (∼ Q) ⇒ (∼ P)
é uma tautologia.
Exemplo:
Mostre que se n² é um número natural par, então n também é um número par.
Hipótese: n² é um número par.
Tese: então n é número par.
Demonstração por contrapositiva:
~ tese ⇒ ~ hipótese
Suponha que se n é ímpar então n² é ímpar.

Seja n um número ímpar, ele será da forma 2k + 1.
Logo: n² = (2k + 1)²
= 2(2k² + 2k) + 1
= 2p + 1 onde p = 2k² + 2k ∈ IN
Concluímos que o número n sendo ímpar implica que número n² também é ímpar e pela contrapositiva a proposição inicial é válida.

Vantagens:
É relativamente fácil de usar e entender;
Estrutura lógica clara;
É compatível com outras técnicas, como a prova direta e a prova por contradição.

Desvantagens:
Limitada uso em algumas situações;
Em alguns casos, a negação da proposição pode ser difícil;
Pode levar à perda de informações importantes.

Exercícios
1º] Demonstre que se 2 divide 3m, então 2 divide m.

2º] Demonstre por contrapositiva que, se um número é quadrado perfeito, então ele é ímpar ou divisível por 4.