Простое объяснение формулы определителя, исходя из концепции площади.
Поддержка будущих видео: https://ko-fi.com/brokemathstudent
Временные метки
00:00 Введение
00:17 Акт I: Флатландия
06:36 Акт II: Переход в трёхмерное пространство
11:06 Акт III: Можно ли достичь большего?
17:15 Разложение на множители формулы Лейбница
Примечание о технических деталях
Я стремился передать наглядное представление об определителе, а не предоставлять строгие доказательства, многие из которых можно найти во многих учебниках. Поэтому я опустил более технические аспекты математики. В видео мы показали, что если существует функция, удовлетворяющая пяти правилам, она должна иметь вид, заданный формулой Лейбница (единственность), но мы не показали, что формула Лейбница действительно удовлетворяет этим пяти правилам (существование). Аналогичным образом, я решил избежать обсуждения определения площади и объёма через меру Лебега и доказательства того, что определитель действительно измеряет объём в этом смысле — эти формализмы отвлекают от интуиции, которую я пытаюсь донести. По тем же причинам я избегал упоминания внешней алгебры и геометрической алгебры — любая абстракция имеет педагогические издержки.
Кроме того, (-1)^sign часто воспринимается как определение знака перестановки, а не просто как функция знака, которую я ввёл.
Ссылки
Моё толкование перестановок было адаптировано из https://math.ou.edu/~nbrady/teaching/.... Представленный здесь взгляд на определители является общепринятым в математике, хотя часто преподаётся только студентам, изучающим чистую математику, возможно, из-за своей абстрактности. Одна из возможных ссылок — глава 3 книги Сергея Трейля с забавным названием «Linear Algebra Done Wrong» (доступна по адресу https://www.math.brown.edu/streil/pap....
Дополнительная литература
Джон Ханна, «Геометрический подход к определителям», American Mathematical Monthly 103 (1996), 401–409. [Современное изложение, похожее на моё.]
Карл Вейерштрасс, «Zur Determinantentheorie» (заметки, подготовленные в зимний семестр 1886–1887 гг.), опубликовано посмертно в «Mathematische Werke von Karl Weierstrass» 3 (Mayer and Müller, Berlin 1903), 271–287, под ред. Й. Кноблауха; Доступно по ссылке https://archive.org/details/mathemati.... [Описание определителя как единственной функции из R^{n^2} в R, удовлетворяющей стандартным аксиомам полилинейности, представленным в видео, восходит к Вейерштрассу, который сформулировал эти аксиомы и доказал их существование и единственность ещё до 1886 года на одном из математических семинаров в Берлинском университете имени Фридриха Вильгельма.]
В: Как вы анимировали это видео?
О: Я использовал Manim Community (https://www.manim.community) — библиотеку Python для создания математических анимаций, созданную Грантом Сандерсоном из 3Blue1Brown.
В: Вас действительно не приняли в художественную школу?
О: Каждый раз, когда я подавал заявление в художественную школу, мне его не принимали.
Музыка Винсента Рубинетти
Скачать музыку на Bandcamp:
https://vincerubinetti.bandcamp.com/a...
Слушать музыку на Spotify:
https://open.spotify.com/playlist/3zN...
Информация по комментариям в разработке