Modulo Rechnen Inverse Gleichungen Erklärung Beispiele (Zahlentheorie)

Wir behandeln allgemein das Modulo Rechnen, Z modulo n, das Rechnen in Restklassenringen und die Division mit Rest.

Es geht um folgende Äquivalenzrelation bei Z/nZ, Z/n:
Sei n eine natürliche Zahl, zwei ganze Zahlen a und b stehen in Relation, falls a-b durch n teilbar ist, d. h. a und b haben durch n den selben Rest. Somit zerfällt Z in die Klassen von 0 bis n-1, da nur diese Reste möglich sind. Man sagt auch: „a ist kongruent (lat. congruens „übereinstimmend“) zu b modulo n“.

Beispiele:
In Z/4Z gilt: [3]=[7], da die den selben Rest, nämlich 3, durch 4 haben; [2]+[3]=[5]=[1]
In Z/7Z gilt: [-2]=[5]; [5]*[3]=[15]

Diese Struktur gibt einen kommutativen Ring mit 1 und es gilt:
Z/nZ ist genau dann ein Körper, falls n eine Primzahl ist. Beweis hierfür:
   • Modulo p Körper Primzahl (genau dann ...  

Inverse finden wir in Z/nZ mit dem Euklidischen Algorithmus für ein Element [m], falls m und n teilerfremd sind, dann nach dem Lemma von Bézout: es gibt ganze Zahlen a und b, so dass 1=ggT(m,n)=a*m+b*n und in modulo n wird b*n zu 0, also ist [a] das Inverse zu [m].
D. h. falls n eine Primzahl ist, so existieren immer Inverse, da Z/nZ ein Körper ist und jedes Element von 0 bis n-1 teilerfremd zu n ist.

Schöne, einfache und sehr coole Anwendung vom Modulo Rechnen:

Eine ganze Zahl ist genau dann durch 3/9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3/9 teilbar ist (diese Frage mit der Teilbarkeit durch 9 kam bei Wer wird Millionär?):
   • "Wer wird Millionär" Beweis zur Frage...  

Teilbarkeitsproben - allgemeine Erklärung und Übungen:
   • Teilbarkeitsproben - Erklärung & Übun...  

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