Diagonalisierung anschaulich erklärt. Eigenwert, charakteristisches Polynom, Eigenvektor, Eigenraum

Wenn man eine Matrix diagonalisiert - was genau tut man da eigentlich?

Wir beschäftigen uns in diesem Video mit drei Beispielen, die so einfach gehalten sind wie möglich, also aus dem IR² kommen.

Als erstes betrachten wir eine Matrix, die bereits diagonal ist.
Als zweites untersuchen wir die Matrix, die schon in dem ebenfalls auf diesem Kanal verfügbaren Video zum Homomorphiesatz    • Algebra: Der Homomorphiesatz anschaul...   als Beispiel dient.

Schließlich geben wir uns eine neue Matrix vor und durchlaufen für diese alle Rechenschritte, angefangen mit dem charakteristischen Polynom, über die Eigenwerte hin zu den Eigenvektoren und Eigenräumen und schließlich zur Diagonalbasis und Transformationsmatrix. Dabei beleuchten wir in jedem Schritt auch den geometrischen Hintergrund, um möglichst genau verstehen zu können, was wir eigentlich tun, wenn wir eine Matrix diagonalisieren.

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00:00 - Intro

01:20 - Beispiel 1: Diagonalmatrix
05:54 - Beispiel 2: Orthogonale (= senkrechte) Projektion

Hauptteil
09:35 - Herleitung des charakteristischen Polynoms
13:03 - Berechnung der Eigenwerte (mit dem charakteristischen Polynom)
16:21 - Berechnung der Eigenvektoren / des Eigenraums zum Eigenwert 2
19:41 - Berechnung der Eigenvektoren / des Eigenraums zum Eigenwert 5
21:57 - Zwischenbilanz, geometrische Interpretation
27:39 - Berechnung der Transformationsmatrix

29:59 - Abspann

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