Matrixnormen: Zeilensummennorm, Spaltensummennorm und Spektralnorm - und die Frobeniusnorm

In diesem Video wird alles benötigte Grundwissen zum Thema Matrixnormen bereitgestellt: Wir induzieren die 1-Norm, die Maximumsnorm und die euklidische Norm / 2-Norm vom IK^n auf den Matrizenraum IK^(nxn) und betrachten danach noch die Frobeniusnorm, die zwar von keiner Vektornorm induziert, aber mit der 2-Norm verträglich ist.

Erratum: Auf dem Endbildschirm fehlt eine Wurzel auf der rechten Seite der Frobeniusnorm. Sorry! O-)

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00:00 - Intro

00:49 - Was war noch mal eine Norm?
03:22 - Was ist das Besondere an einer Matrixnorm?
04:35 - Anmerkung zur Praxis. Definition der Verträglichkeit einer Matrixnorm
06:48 - Definition der von einer Vektornorm induzierten Matrixnorm

09:42 - Beweis: Die induzierte Matrixnorm ist eine Matrixnorm

*Herleitung der von der 1-Norm induzierten Matrixnorm ("Spaltensummennorm")*
15:41 - Was war noch mal die 1-Norm?
17:35 - Induzierte 1-Matrixnorm, Abschätzung nach oben
22:40 - Induzierte 1-Matrixnorm, Abschätzung nach oben (nochmal kürzer)
25:34 - Anmerkung zum Beweisprinzip bei Maximumsbehauptungen
26:27 - Induzierte 1-Matrixnorm, Abschätzung nach unten

*Herleitung der von der Maximumsnorm induzierten Matrixnorm ("Zeilensummennorm")*
28:28 - Was war noch mal die Maximumsnorm?
29:12 - Induzierte ∞-Matrixnorm, Abschätzung nach oben
34:23 - Induzierte ∞-Matrixnorm, Abschätzung nach unten (Beispiel)
36:40 - Induzierte ∞-Matrixnorm, Abschätzung nach unten (reeller Fall)
39:11 - Induzierte ∞-Matrixnorm, Abschätzung nach unten (allgemeiner Fall)

*Herleitung der von der 2-Norm / euklidischen Norm induzierten Matrixnorm ("Spektralnorm")*
43:33 - Was war noch mal die 2-Norm / euklidische Norm?
43:49 - Wiederholung aus der Linearen Algebra: Hauptachsentransformation
46:50 - Induzierte 2-Matrixnorm, Abschätzung nach oben
51:18 - Induzierte 2-Matrixnorm, Abschätzung nach unten

*Die Frobeniusnorm*
53:30 - Was war nochmal die Frobeniusnorm?
54:51 - Beweis: Frobeniusnorm ist verträglich mit der 2-Norm / euklidischen Norm
58:27 - Beweis: Frobeniusnorm ist submultiplikativ

1:00:28 - Resümee und Abspann

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