Pourquoi une fonction injective continue sur un intervalle est-elle strictement monotone?

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On donne trois preuves pour cet énoncé. Une fausse (ou disons trop imprécise), une pour le niveau licence, et enfin une, assez séduisante, mais qui demande quelques bases de topologie de L3.
L'internaute attentif aura certainement remarqué que la vignette est (inconsciemment) inspirée de Staying Alive.

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