常微分方程式の「解の一意存在の定理」の背景！リプシッツ連続のアレ！【ピカールの逐次近似法】

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du/dt=f(t,u) 型の常微分方程式の初期値問題は，右辺のfが初期条件の近くで
・(t,u)について連続
・uについてリプシッツ連続
という２つの条件を満たせば，初期時刻の近くで解が一意に存在します．この定理を「Picard-Lindelöfの定理(ピカール - リンデレフの定理)」といいます．

この定理の背景には，解を少しずつ近似して求める「Picardの逐次近似法(ピカールの逐次近似法)」と呼ばれる考え方があります．
しかし，この「ピカールの逐次近似法」のあたりをきちんとやろうとすると，証明が長く重要な部分が分かりづらくなりがちです．

そこで，この動画では「ピカールの逐次近似法」の重要な部分の考え方と仕組みを具体例を踏まえて解説しています．


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【講師】山本拓人(家庭教師・予備校講師・数学教室講師)

✅ 塾，予備校業界で10年以上の指導歴を持つ．予備校1年目の生徒アンケートでベテランを凌いでトップクラスの高評価を得て通常の8倍の報酬アップを提示されるなど，早い時期から頭角を表す．受講生に合わせた分かりやすく丁寧な指導に定評がある．
✅ 社会人向け数学教室で講師を務める．また，個人でもオンライン家庭教師，集団授業を行なっている．主に大学数学，高校数学を指導している．
✅ 解説記事を執筆する数学ブロガーでもあり，大学受験ブログ「合格タクティクス」，大学数学ブログ「あーるえぬ」の月刊閲覧数は7万を超える．
✅ 大学院修士課程に飛び級で首席合格するなど，数学に対する知識・理解も深い．専門は非線形偏微分方程式で，京都大学内にある数理解析研究所(RIMS)にて博士後期課程として数学の研究を行っている．
✅ 趣味はピアノ，スポーツ，甘いもの食べ歩き

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0:00 この動画のテーマ
0:39 ピカールの逐次近似法とはどういうものか？
2:17 ピカールの逐次近似法の具体例
6:27 ピカールの逐次近似法が使える微分方程式の例
7:24 ピカールの逐次近似法の考え方と仕組み
9:52 常微分方程式の解の存在と一意性の定理
11:34 多くの微分方程式で定理が使える