Скачать или смотреть Trasformazione di Legendre. Come trasformare una Funzione in un altra Funzione

La Trasformazione di Legendre è un'operazione matematica che trasforma una Funzione convessa (concava verso l'alto) e differenziabile f(x) in un'altra funzione convessa e differenziabile g(y). Intendendo per "Funzione Convessa" una funzione tale che un segmento qualsiasi che unisce due suoi punti qualsiasi giaccia sempre sopra o sulla curva che rappresenta la funzione stessa. La Trasformazione di Legendre è una "Involuzione", in quanto permette, trasformando la Funzione Trasformata, di tornare alla Funzione Originale; infatti, la trasformata di f(x) rispetto a x è g(y) e la trasformata di g(y) rispetto a y è f(x).
La Funzione f(x) o g(y) che viene trasformata è, a sua volta, funzione della derivata prima della funzione originale; infatti g(y)=g[f'(x)]=yx-f(x), dove y è la derivata prima della f(x) rispetto a x, cioè y=f'(x), e x è espresso in funzione di y; inoltre f(x)=f[g'(y)]=xy-g(y), dove x è la derivata prima della g(y) rispetto a y, cioè x=g'(y), e y è espresso in funzione di x.
Questa operazione trasforma la funzione f(x) in una funzione g(y), convertendo la variabile indipendente x nella variabile indipendente y, tale che g(y) costituisca l'estremo superiore rispetto a x dell'espressione [yx-f(x)]. La Trasformazione di Legendre cerca, infatti, il valore massimo di tale espressione al variare di x, poichè y è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione originale, ovvero la sua derivata prima calcolata per i valori di x di definizione. Graficamente, la relazione è tra il valore (cambiato di segno) dell'intercetta della retta tangente in x alla funzione originale, cioè g(y), e il coefficiente angolare di tale retta, cioè y. La variabile indipendente della funzione trasformanda determina, per derivazione, la variabile indipendente della funzione trasformata, che determita la variabile dipendente della funzione trasformata. Ad esempio, la Trasformazione di Legendre di f(x)=ax^2 è data da g(y)=sup_x[xy-ax^2]; l'estremo superiore si ha per y=2ax, per cui x=y/2a; sostituendo x nella formula, si ottiene g(y)=y(y/2a)-a(y/2a)^2= y^2/2a-y^2/4a=y^2/4a. Trasformando, poi, la g(y), infine, si riottiene involutivamente la f(x), ovvero f(x)=f[g'(y)]=yx-g(x). Infatti, f(x)=2ax^2-ax^2=ax^2.
In definitiva, data una funzione f(x), differenziabile come df=(∂f/∂x)dx, essa potrà essere trasformata in un'altra funzione g(y), differenziabile come dg=(∂g/∂y)dy, con y=(∂f/∂x), cioè g(y)=(∂f/∂x)x-f(x)=yx-f(x). E questa trasformazione può essere applicata anche a funzioni che presentano più di una variabile indipendente. Ad esempio, la funzione f(x,y), differenziabile come df=(∂f/∂x)[y]dx+(∂f/∂y)[x]dy, può essere trasformata nella funzione g(x,z), differenziabile come dg=(∂g/∂x)[z]dx+(∂g/∂z)[x]dz con z=(∂f/∂y)[x], ottenendo g(x,z)=zy-f(x,y). La funzione f(x,y,z), differenziabile come df=(∂f/∂x)[y,z]dx+(∂f/∂y)[x,z]dy+(∂f/∂z)[y,z], può essere trasformata nella funzione g(x,y,k), differenziabile come dg=(∂g/∂x)[y,k]dx+(∂g/∂y)[x,k]dy+(∂g/∂k)[x,y]dk con k=(∂f/∂z)[x,y], cioè nella funzione g(x,y,k)=kz-f(x,y,z).
La Trasformazione di Legendre è ampiamente sfruttata in Fisica. Permette, infatti, in Meccanica Razionale, di passare dal formalismo lagrangiano (Energia come differenza tra Energia Cinetica e Energia Potenziale) a quello hamiltoniano (Energia come Energia Totale), con l'Hamiltoniana trasformata di Legendre della Lagrangiana. Consente, inoltre, in Termodinamica di definire con elasticità e l'opportuno formalismo (dipendente dalle condizioni del Sistema) le varie Funzioni di Stato, ricavando delle relazioni reciproche.
Un esempio classico di applicazione della Trasformazione di Legendre in Termodinamica è il passaggio dall'Energia Interna U(S,V,N) all'Energia Libera di Helmholtz A(T,V,N), con A=U-TS e T=(∂U/∂S)[V,N]; in questo caso, la variabile indipendente S viene sostituita dalla variabile indipendente T, o anche il passaggio dall'Energia Libera di Helmholtz A(T,V,N) all'Energia Libera di Gibbs G(T,P,N): A(T,V,N)→G(T,P,N)=A+PV, o il passaggio dall'Energia Interna U all'Entalpia H(S,P,N): U(S,V,N)→H(S,P,N)=U+PV, o, infine, il passaggio dal Potenziale Canonico A(T,V,N) al Potenziale Macrocanonico Ω(T,V,μ): A(T,V,N)→Ω(T,V,μ)=F-μN.
#fisica #matematica #meccanica #termodinamica #statistica
00:00 Introduzione
00:39 Trasormazione di Legendre
03:57 Esempio di Trasformazione di Legendre
06:38 Trasformazione di Funzioni a più Variabili
09:38 Trasformazione di Legendre in Fisica
11:07 Trasformazione di Legendre in Termodinamica
13:47 Conclusione