Petite Introduction aux Séries Formelles

Cette vidéo est la première partie d'une description des séries formelles et des distributions formelles. Il s'agit d'objets qu'on peut écrire formellement comme des séries entières, mais sans se poser de questions de convergence. Cela permet d'aborder de nombreuses notions d'algèbre (structures de groupes, d'anneaux, de corps, d'idéaux) et de faire des liens avec la combinatoire et la géométrie algébrique. Dans cette première partie, on regarde les séries et les séries de Laurent.

La suite de cette vidéo est ici :    • Petite Introduction aux Distributions...  

Notes prises pendant la vidéo : http://www.antoinebourget.org/attachm...

Errata :
- à 1:40:30 il faut évidemment lire xa appartient à I, pas à A !

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Plan

00:00 Début
9:20 Séries de Taylor
16:50 L'anneau des séries formelles
25:30 Principe de finitude
32:00 Éléments inversibles dans un anneau
39:22 Aspects métriques, complétude
47:40 Complétion de l'anneau des polynômes
52:30 Séries de Laurent
1:03:30 Idéaux de l'anneau local
1:11:20 Illustration en géométrie algébrique
1:18:20 Dérivation et intégration des séries formelles
1:22:45 Coefficients dans un anneau
1:26:50 Conclusion temporaire et distributions


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Références : Il s'agit d'un sujet très classique, que l'on peut trouver traité dans les livres d'algèbre élémentaire. Pour une synthèse récente et assez détaillée, on pourra consulter :

An invitation to formal power series
Benjamin Sambale
https://arxiv.org/abs/2205.00879v5