Скачать или смотреть الاعداد المركبة ونظرية ديموافر .

الصورة القطبية للاأعداد المركبة . الجزء الحقيقي للعدد المركب المعطى على
الصورة الديكارتية ، a + bi هو a والجزء التخيلي . bi ويمكنك تمثيل العدد المركب
على المستوى المركب بالنقطة a, b كما هو الحال في المستوي الإحداثي، فإننا
ُ نحتاج إلى محورين لتمثيل العدد المركب، ويين الجزء الحقيقي على محور أفقي
ُي َّ سمى المح ور الحقيقي ويرمز له بالرمز R في حين يعين الجزء التخيلي على محور
ُ رأسي يسمى المحور التخيلي ويرمز له بالرمز .
. تذكر أن القيمة المطلقة لعدد حقيقي هي المسافة بين ذلك العدد والصفر على خط الأعداد ، وبالمثل ، فإن
القيمة المط لقة لعدد مركب هي المسافة بين العدد والصفر في المستوي المركب . وعند تمثيل العدد a + bi في
ُ المستوي المركب. فإنه بالإمكان حساب بعده عن الصفر باستعمال نظرية فيثاغورس.
َم ِّث َّ ل كل عدد مما يأتي في المستوى المركب، وأوجد قيمته المطلقة:
z = 4 + 3i )a
(a, b) = (4 , 3)
القيمة المطلقة للعدد 4 + 3i تساوي .5
z = -2 - i
َمثل كل عدد مما يأتي في المستوى المركب، وأوجد قيمته المطلقة:
5 + 2i
في حالة العدد المركب ، فإن r تمثل القيمة المطلقة أو الم قياس للعدد المركب، ويمكن إيجادها باستعمال الإجراء
نفسه الذي استعملته لإيجاد القيمة المطلقة ُ .r = = a2 + b2تسمى الزاوية θ سعة العدد المركب. وبالمثل
لإيجاد θ من الإحداثيات الديكارتية x, y فإنه عند استعمال الأعداد المركبة يكون
. a 0 عندما _b
a + π أوa 0 عندماb
. عبر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية:
-6 + 8i
. مثل العدد z في المستوى القطبي، ثم عبر عنه بالصورة الديكارتية
. صرب الاأعداد المركبة وقسمتها . وايجاد قواها وجذورها تعد الصورة القطبية للعدد المركب، وصيغ
ً المجموع، والفرق لكل من دالتي الجيب وجيب التمام مفيدة للغاية في ضرب الأعداد المركبة وقسمتها. ويمكن
اشتقاق صيغة ضرب عددين مركبين على الصورة القطبية على النحو الآتي
. أوجد الناتج على الصورة القطبية، ثم عبر عنه بالصورة الديكارتية لكل مما يأتي:
. إذا كان فرق الجهد Vفي دائرة كهربائية يساوي ،150 Vوكانت معاوقتها Zتساوي Ω
فأوجد شدة التيار Iفي الدائرة على الصورة القطبية باستعمال
المعادلة .V
. إذا كان فرق جهد دائرة كهربائية ، 120 Vوكانت شدة التيار ) (8 + 6jأمبير ، فأوجد معاوقتها
على الصورة الديكارتية
. أوجد الناتج في كل مما يأتي، وعبر عنه بالصورة الديكارتية :
. . يوجد للمعادلة x4 = 256 حلان في مجموعة الأعداد الحقيقية هما . 4 , -4 ويظهر
التمثيل البياني المجاور للمعادلة y = x4 - 256وجود صفرين حقيقيين عند
، x = 4 , -4 بينما في مجموعة الأعداد المركبة فإن لهذه المعادلة حلين حقيقيين،
وحلين مركبين.
ً درست سابقا نتيجة النظرية الأساسية في الجبر، والتي تنص على وجود nً صفرا
لمعادلة كثيرة الحدود من الدرجة nفي مجموعة الأعداد المركبة؛ لذا يكون للمعادلة
التي تكتب على الصورة أربعة حلول أو جذور مختلفة، وهي . 4 , -4 , 4i , -4i
وبشكل عام، فإنه يوجد nٌ جذر نوني مختلف لأي عدد مركب لا يساوي الصفر حيث ، n 2 بمعنى أنه لأي عدد
مركب جذران تربيعيان، وثلاثة جذور تكعيبية وأربعة جذور رباعية…، وهكذا
. جذور العدد المركب .
أوجد الجذور الرباعية للعدد المركب .-4 - 4i

أوجد الجذور التكعيبية للعدد i2 + 2
أوجد الجذور التكعيبية للعدد 8
الجذور الأربعة التي أوجدناها في المثال 7تقع على دائرة. فإذا نظرنا إلى
ً الصورة القطبية لكل جذر، نجد أن لكل منها مقياسا قيمته
ويمثل نصف قطر الدائرة. كما أن المسافات بين الجذور على الدائرة متساوية، وذلك
.
2π
_4
نتيجة للفرق الثابت بين قيم السعة؛ إذ يساوي
تحدث إحد￯ الحالات الخاصة عند إيجاد الجذور النونية للعدد ،1فعند كتابة 1على
الصورة القطبية، فإننا نحصل على .r = 1وكما ذكرنا في الفقرة السابقة، فإن مقياس
الجذور هو طول نصف قطر الدائرة الناتجة عن تمثيل الجذور في المستو￯ المركب؛ لذا فإن الجذ ور النونية للعدد
واحد تقع على دائرة الوحدة
ُّ أوجد الجذور الث َّ مانية للعدد واحد.

أوجد الجذور التكعيبية للعدد واحد.
-أوجد الجذور السداسية للعدد واحد.