Application de l'équation aux classes : un groupe d'ordre 15 est abélien

On montre qu'un groupe G d'ordre 15 est abélien par application de l'équation aux classes de conjugaison, sans recours aux théorèmes de Cauchy ou Sylow.


On discute suivant l'ordre du centre du groupe G. Lorsque le centre est d'ordre 3 ou 5, on utilise un résultat classique sur les groupes dont le quotient par le centre est monogène.

L'équation aux classes est invoquée lorsque le centre est trivial : elle permet d'obtenir la répartition des classes de conjugaison et le nombre d'éléments d'ordre 3 du groupe.


L'équation aux classes est décrite et prouvée ici :    • L'équation aux classes dans un groupe...  

On a besoin du résultat sur les groupes G qui quotientés par leur centre sont monogènes :    • Un groupe dont le quotient par le cen...  

On utilise sans s'y référer, cette vidéo qui montre que le nombre d'éléments d'ordre p premier d'un groupe fini est un multiple de p-1 :    • Nombre d'éléments d'ordre premier p d...  


J'ai été inspiré par cette solution de Gilles Robert : https://groups.google.com/g/fr.sci.ma...