#26. EGMO-2022, Problem 6

В этом видео мы разбираем 6-ую задачу с Европейской олимпиады для девочек 2022-го года.

Диагонали четырехугольника ABCD, вписанного в окружность с центром в точке O, пересекаются в точке P. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке X, биссектрисы углов B и C — в точке Y, C и A — в точке Z, и, наконец, A и D — в точке W. Докажите, что если точки X, Y, Z, W, O лежат на одной окружности, то на этой же окружности лежит и точка P.

Мы приводим три решения этой задачи. Первое опирается по сути только на понятие радикальной оси. Второе, крайне содержательное, обобщает утверждение задачи и опирается на свойства конических сечений. При этом мы обсудим некоторый алгебраический аппарат, позволяющий проверять утверждения типа теоремы Паскаля. Третье решение содержит в себе очень интересную конструкцию, которую иногда называют сопряжение Клоусона относительно четырехугольника или изоциклические инволюции (см. ссылку в комментариях на один из проектов ЛКТГ).

00:00 Введение
00:55 Условие задачи
01:39 Первое решение
10:48 Обобщение, второе решение с помощью леммы
14:15 Алгебраическое доказательство теоремы Паскаля
20:50 Доказательство леммы
24:55 Определение сопряжения Клоусона (Clawson conjugate) или изоцикличекой инфолюции
28:10 Описание сопряжения в терминах углов
30:23 Другое определение сопряжения — инверсия+симметрия с центром в точке Микеля
36:05 Третье решение задачи