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Tensore d’inerzia di una massa puntiforme
Il concetto di “resistenza” alla rotazione.
Nella studio del moto rotatorio è fondamentale capire come una massa reagisce quando le si impone una rotazione. Per una massa puntiforme (oggetto talmente piccolo da poter essere considerato senza dimensioni) l’unico parametro che conta è la sua distanza dall’asse di rotazione. Se un corpo ruota attorno ad un asse, più è lontano dall’asse e più “fa fatica” a cambiare stato di moto rotatorio: questa il concetto di base dell’inerzia rotazionale. Premesso che la massa vale m e la sua distanza dall’asse vale r, a livello matematico, il concetto si esprime introducendo il momento d’inerzia rispetto a un asse: I=mr^2 . Il momento d’inerzia, quindi, quantifica quanto una massa puntiforme oppone resistenza a una rotazione attorno a un asse specifico.
Momenti d’Inerzia rispetto ad un sistema di tre assi cartesiani X Y Z
Un corpo, anche se puntiforme, può essere osservato rispetto a qualunque asse nello spazio. I tre assi cartesiani X, Y e Z offrono un’ottima base per descrivere tutti i possibili movimenti rotatori. Per ciascun asse possiamo definire un momento d’inerzia: Ixx=m(y^2+z^2), Iyy=m(x^2+z^2) e Izz=m(x^2+y^2). Qui emerge qualcosa di importante dal punto di vista fisico: ogni asse “vede” una diversa distribuzione della massa e quindi “sente” un’inerzia diversa. Non basta un singolo numero per descrivere completamente il comportamento rotatorio: servono tre quantità, una per ogni orientamento indipendente.
I prodotti d’inerzia o momenti misti.
Fin qui tutto sembra lineare, ma c’è un dettaglio spesso trascurato. Una massa puntiforme, rispetto ad assi inclinati o non perfettamente allineati con il sistema di riferimento, genera termini di momenti d’inerzia che “mescolano” le coordinate tra loro. Sono i prodotti d’inerzia o momenti misti: Ixy=mxy, Iyx=myx, Ixz=mxz, Izx=mzx, Iyz=myz, Izy=mzy. Dal punto di vista fisico rappresentano il “disaccoppiamento” tra le rotazioni: se non sono nulli, una rotazione attorno a un asse può indurre effetti sugli altri. Sono loro i responsabili dei moti di precessione e nutazione in aggiunta alla rotazione. In altre parole, non sempre il sistema di riferimento scelto è “naturale” per la massa. Non sempre le rotazioni risultano “pulite”.
Il concetto di asse principale.
Gli assi principali godono della proprietà di consentire alla massa rotazioni “pulite” ovvero esenti dai movimenti citati prima di precessione e nutazione. Rispetto ad un sistema di assi principali non si sviluppano momenti misti.
Il tensore d’inerzia.
Il tensore d’inerzia nasce mettendo insieme momenti d’inerzia e prodotti d’inerzia in una matrice 3x3. Il tensore d’inerzia è rappresentato da una matrice diagonale simmetrica. Sulla diagonale insistono i momenti Ixx Iyy Izz, gli altri elementi sono costituiti dai prodotti ‘inerzia. Si dimostra, e questo lo trovi nella videolezione, che i prodotti d’inerzia portano tutti il segno meno. Il tensore d’inerzia racchiude tutte le informazioni sulla distribuzione della massa. Per una massa puntiforme assume una forma semplice, ma concettualmente potentissima: permette di descrivere qualunque dinamica rotazionale in modo compatto e generale. Dal punto di vista fisico è lo strumento che traduce la geometria della massa nel comportamento dinamico. Il tensore d’inerzia è oggetto matematico che trasforma una nozione intuitiva, quanto una massa “resiste” alla rotazione, in una descrizione completa e utilizzabile in qualunque contesto, dalle analisi strutturali alla dinamica dei droni. Ecco di seguito i vari elementi Aij che compongono il tensore d’inerzia: A11=Ixx A21=-Iyx A31=-Izx A12=-Ixy A22=Iyy A32=-Izy A13=-Ixz A23=-Iyz A33=Izz .
Nella videolezione troverai tutta la trattazione matematica in chiave vettoriale/matriciale che porta alla definizione del tensore d’inerzia nella sua tipica forma di matrice 3x3. Troverai anche le definizioni vettoriali delle grandezze fisiche che caratterizzano la rotazione: Vettore posizione r, Velocità angolare OMEGA, Velocità tangenziale v, Quantità di moto lineare p, Momento Angolare L