V37Exercices Réduction deJordan part1(Dr.HADDI)

Introduction :
Rappelons l'éternelle hypothèse ; le polynôme caractéristique de la matrice A, doit être scindé et dans ces conditions , d'après la vidéo trigonalisation, notre matrice est semblable à une matrice triangulaire T, dont la diagonale principale est formée par les valeurs propres de la matrice A. Le but de notre séance est de donner l'organigramme, qui nous permet de choisir T, une matrice de Jordan J ( dont les puissances sont connues, contrairement à T )
Organigramme de Jordan : On commence par choisir une valeur propre a (qui est multiple ) .
Dans cette séance, nous traitons le cas d'une matrice d'ordre 3 (qui n'est pas scalaire ) et qui possède une seule valeur propre a . On a deux cas ; Rg(A-aI3)=1 ou bien Rg(A-aI3)=2. Comme les coefficients de la matrice ne jouent aucun rôle, pour la clarté, on a traité des exemples numériques ( En un seul mot : Le cas général est une photocopie légalisée de l'exemple, sans aucune modification ). Il y'a un seul teste, qu'il faut retenir, il consiste à comparer la dimension de Ker(A-aI3)k et la multiplicité de la valeur propre a dans le polynôme caractéristique ( Bien sûre, d'après les vidéos précédentes, le teste est trivialement vérifié, pour une valeur propre simple (k=1) ou A est une matrice diagonalisable k=1. Le teste est également vérifié pour k=mult(a) voir la vidéo précédente . En résumé le teste on le fait pour une valeur propre multiple.
Chaque fois que le teste n'est pas vérifié, cela signifie que l'inclusion naturelle, est stricte. Ensuite , on dessine la suite de sous-espaces arithmétiques, que l'on complète par des vecteurs supplémentaires et il faut toujours donner la priorité à la base canonique ( Cela t'évite de faire les calculs de l'image, penser à une matrice d'ordre '4, en plus avec ce choix, la détermination éventuelle de l'inverse de la matrice de passage est facile ). Enfin, il ne faut pas quitter une étage sans faire le contrôle ( pour comprendre ce genre de piège, il faut considérer une matrice d'ordre 5 et ce genre d'accident, se produit au milieu du diagramme ).
Pour écrire la base de Jordan, il faut regarder le diagramme de la réduction et dire je suis au rez chaussé ( où uniquement les vecteurs propres habitent ) oui ou bien non (inutile de préciser l'étage ) . Si je suis au rez-chaussé je met 0 au dessus de la valeur propre sinon 1 ( La justification est scolaire ). Pour écrire cette base de Jordan, on choisit l'ordre suivant ; Du bas vers le haut et de gauche vers la droite ( C'est pour cela on dit, qu'une base de Jordan, est une base serpente ). A la fin, on applique la formule du changement de base du S2, pour obtenir une relation de réduction de Jordan de la matrice A.
Remarques sur l'organigramme de Jordan :
Noter que lorsque la matrice est diagonalisable, on retrouve le teste de la diagonalisation, à savoir : Un endomorphisme f, est diagonalisable ssi la dimension du sous-espace propre est égale à la multiplicité de la valeur propre ( Dans le teste de Jordan, on remplace le sous_espace propre, par le sous-espace propre minimal ; Ker(A-aI3)m où m est la multiplicité de la valeur propre dans le polynôme minimal.
On retiendra? que l'organigramme donne automatiquement le polynôme minimal de la matrice A.
Voir la vidéo prochaine où on complète avec le cas d'une matrice d'ordre 3, qui possède deux valeurs propres . Pour comprendre l’enchaînement du cours, il faut voir le playlists des vidéo où il y'a le programme complet de la réduction des matrices .