V25 : Examen sur la réduction des matrices

On diagonalise une matrice avec paramètres .
Ce qui nous permet de réviser les notions suivantes :
1) Avant de se lancer dans le calcul du polynôme caractéristique, il faut faire les contrôles suivant :
i) La matrice proposée est la translatée d'une matrice remarquable ( dont le polynôme caractéristique est connu : Compagnon , rang 1, nilpotente.. Voir pour les détails la vidéo : Eléments propres de la translaté d'une matrice. ) .
ii) La somme des ligne ou des colonnes est constante, alors de lcette est automatiquement une valeur propre pour la matrice et on abaisse automatiquement la taille du déterminant.
Pour les colonne, on gagne (1,.,..,1) comme vecteur propre ( Si en plus la valeur propre est simple, on a le sous-espace propre sans résoudre le système ).
2) Pour voir qu'une matrice avec paramètre est diagonalisable ou non, nous utilisons très souvent le résultat précieux suivant : Une matrice est diagonalisable ssi la dimension du sous-espace propre est égale à la multiplicité de la valeur propre et pour faire ce teste , nous utilisons le rang d'une matrice ( donc il faut savoir échelonner une matrice par le pivot de Gauss ! et il serait maladroit de déterminer une base du sous-espace propre, on fait ça pour déterminer une relation de diagonalisation d''une matrice )
3) Nous déterminons dans cette séance, le polynôme minimal à partir du polynôme caractéristique et il faut avoir présent à l'esprit, que pour une matrice diagonalisable le polynôme minimale, s'obtient à partir du polynôme caractéristique en effaçant les multiplicités des valeurs propres ( Donc il faut retenir les cas où le polynôme minimal est facil à obtenir : i).Matrice compagnon ii) Matrice diagonalisable iii) Matrice nilpotente iv) Une matrice qui verifie une relation de la forme P(A)=0 où degP(X) est inférieur ou égal à 2 .
4) Le calcul de la puissance d'une matrice diagonalisable , qui possède deux valeurs propres à l'aide de son polynôme minimal . Tout d'abord le polynôme minimal est connu , il s'agit du polynôme unitaire de degré 2, qui possède les deux valeurs propres comme racines Pour déterminer la puissance de la matrice A, il suffit d"effectuer la division euclidienne de Xk par le polynôme minimal (C'est le S1, en plus 5 minutes ), une telle méthode est appelée : Calcul de la puissance d'une matrice par polynôme annulateur . Alors que La méthode de diagonalisation explicite est fastidieuse (en plus la matrice doit être diagonalisable !), nous insistons, qu'en basse dimension la méthode du calcul de la puissance d'une matrice par polynôme annulateur est avantageuse ( Qui ne connaît pas la division euclidienne de S1 ?),
Il existe 40 vidéos sur le YouTube du Pr HADDI, qui résument le programme sur la réduction des matrices. Voir Playlists
Je répondrai avec plaisir à vos questions .