Pythagoreische Tripel (Formel von Euklid)

Wie man rechtwinklige Dreiecke mit ganzzahligen Seiten und Punkte auf dem Kreis mit rationalen Koordinaten findet.

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Wieso werden aus p und q plötzlich die Quadrate r^2 und s^2?

So, wie ich es hier motiviert habe (über die binomischen Formeln), hat man irgendwann (p-q)^2 + 4pq = (p+q)^2 da stehen. Man möchte, dass die beiden linken Summanden die Rolle von a^2 und b^2 spielen und die rechte Seite die von c^2. Zwei von den Termen sind schon Quadrate, der Term 4pq aber nicht. Er lässt sich aber als 2^2*p*q schreiben und wird ein Quadrat, wenn p und q Quadrate sind. Damit hat man dann eine "Bauanleitung", mit der man sich beliebig viele pythagoräische Tripel bauen kann.

Ein Ansatz, der zeigt, wie man auf diese Darstellung kommt und wieso man tatsächlich ALLE Tripel bekommt:

Wenn in der Konstruktion bei 32:00 der (grüne) rationale Punkt auf der x-Achse der rationalen Zahl r/s entspricht, dann ergeben sich (z.B. durch Gleichsetzen der Geradengleichung y = -sx/r + 1 mit der Gleichung y = sqrt(1-x^2) der oberen Hälfte des Einheitskreises) für den Punkt auf dem Kreis die Koordinaten (2rs/(r^2+s^2), (r^2-s^2)/(r^2+s^2)). Da wir uns vorher überlegt haben, dass zu jedem pythagoräischen Tripel so ein Punkt auf dem Einheitskreis gehört, sieht man, dass es gar nicht anders geht und woher r und s kommen.

Auf diesem Wege hat man zunächst einmal alle sogenannten primitiven Tripel, bei denen die drei Zahlen keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben. Hat man so ein Tripel (a,b,c), dann erhält man noch beliebig viele weitere der Form (na,nb,nc), die nicht primitiv sind und natürlich zum selben Punkt auf dem Einheitskreis wie (a,b,c) gehören.

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