V35 Des applications de la trigonalisation

Rappelons que nous avions vu dans la vidéo Matrice trigonalisable, qu'une matrice est trigonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé sur K. En particulier, nous montrerons dans le premier exercice, qu'une matrice nilpotente (est non seulement est trigonalisable, d'après Cayley ), mais elle est semblable à une matrice triangulaire stricte ( C'est à dire une matrice triangulaire .à diagonale principale nulle )
Dans le deuxième exercice, nous considérons une matrice dont le polynôme caractéristique est scindé sur K et nous exprimons le polynôme caractéristique de P(A) en fonction de celui de A. En application nous retrouvons le déterminant d'une matrice circulante (Sans passer par la diagonalisation, mais en utilisant le fait que le déterminant d'une matrice, est égal aux produit de ses valeurs propres complexes (Comparer avec la vidéo diagonalisation d'une matrice circulante )
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