V34 Matrices trigonalisables

Lorsque la matrice A n'est pas diagonalisable , nous remplaçons la matrice diagonale par une matrice triangulaire supérieure (Voir la vidéo5 : La sous-algèbre des matrices triangulaire de Mn(K), qui justifie l'intérêt des matrices triangulaires ).
On commence le cours par un exercice, qui justifie que la trigonalisation est une propriété héréditaire des matrices carrées blocs. A cet effet, nous montrons ( par récurrence sur la taille de la matrice A ) qu'une matrice est trigonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé sur K .L'avantage du point de vue matriciel, est qu'il utilise les matrices carrées blocs, qui se comportent comme les matrices d'ordre deux ( donc la preuve est facile .Comparer avec la version linéaire où il faut appliquer l'hypothèse de récurrence à un endomorphisme, dont la définition élégante dépasse le niveau du cours S3) . Comme matrice et endomorphisme c'est la même chose, nous déduisons qu'un endomorphisme est trigonalisable si, et seulement si, son polynôme caractéristique est scindé sur K . Ainsi, on retiendra ( Car tout polynôme est scindé sur C), que toute matrice à coefficients complexes est trigonalisable . Mais, nous verrons qu'il faut choisir la plus belle matrice triangulaire supérieure à savoir : Une matrice de Jordan ( Par exemple ses puissances sont connues, son exponentielle ) , dont les application sont spectaculaires ( Système différentielles linéaires ) . Tout cela; justifiera le chapitre : Méthode pratique de la réduction de Jordan .
Il existe 40 vidéos sue le YouTube du Pr A HADDI, qui représentent le cours complet sur la réduction des matrices . Voir playlists
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