Euler Lagrange Gleichung, Variationsrechnung #2

Was ist die Euler-Lagrange-Gleichung und warum ist die Euler-Lagrange-Gleichung nur eine notwendige Bedingung für die Optimierung von Funktionalen?



Dipl. Physiker Dietmar Haase leitet in diesem Video die Euler-Lagrange-Gleichung für den einfachsten Fall her, nämlich dass das zu optimierende Funktional nur von einer Funktion in einer unabhängigen Variablen abhängt.
Dabei wird davon ausgegangen, dass man die gesuchte Lösung y, die das Funktional minimiert beziehungsweise maximiert, als bekannt voraussetzt. Nach einer Idee der beiden Mathematiker Euler und Lagrange werden dann Vergleichsfunktionen beziehungsweise variierte Funktionen betrachtet, indem zu der als bekannt vorausgesetzten optimalen Lösung y kleine Variationen beziehungsweise Störfunktionen hinzuaddiert werden. Dadurch lässt sich schließlich das Variationsproblem auf ein Problem mit nur noch einer unabhängigen Variablen zurückführen. Mit den bekannten Methoden aus der Differenzialrechnung für Funktionen mit einer unabhängigen Variablen, erhält man als notwendige Bedingung die Euler-Lagrange-Gleichung. Das heißt, wenn das Variationsproblem eine Lösung besitzt, dann muss die Lösung notwendigerweise die Euler-Lagrange-Gleichung erfüllen.


Website:
https://www.ingmathe.de
Youtube Kanal:
   / ingmathede  
Online-Rechner:
https://www.wolframalpha.com