Cohomologie : une histoire de groupes, d'anneaux et de géométrie

Cette vidéo est la seconde partie d'une série de deux, consacrée à la cohomologie. La première partie est ici :    • Les mathématiques de l'impossible : C...  

Dans cette vidéo, je présente les bases de la théorie de la cohomologie (simpliciale), illustrée par de nombreux exemples de variétés simples (sphère, tore, cylindre, plan projectif). Je montre en quoi la cohomologie offre un invariant topologique très riche, en ce qu'il est doté d'une structure d'anneau, et est relié à l'homologie par la dualité de Poincaré dans le cas des variétés lisses. Je montre aussi rapidement des applications à la théorie de l'intersection, avec en particulier le théorème de Bézout pour les courbes complexes projectives.

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ERRATA :
à 12:00 je parle de simplexe régulier, j'aurais dû écrire singulier (autrement dit, on autorise que l'application sigma soit singulière).

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Je m'appelle Antoine Bourget, je suis physicien théoricien, et j'essaie de transmettre en vidéo ce que je trouve élégant en mathématiques et en physique. Pour suivre les actualités de la chaîne, et me contacter, vous pouvez rejoindre le serveur Discord ou me suivre sur les réseaux sociaux. Si vous voulez faire un don, j'ai également un compte Utip.

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Références et liens :
Hatcher, Algebraic topology.

Ma vieille série de vidéos :
sur l'homotopie (groupe fondamental) :    • Topologie Algébrique I : le groupe fo...  
sur l'homologie (théorie) :    • Topologie Algébrique I : le groupe fo...  
sur l'homologie (exemples) :    • Topologie Algébrique I : le groupe fo...  
sur les formes différentielles :    • Autour des différentielles  
sur l'utilisation des formes différentielles en physique :    • Électromagnétisme et Physique Théorique  

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Plan :
00:00 Début
02:22 Rappels de topologie algébrique
17:45 Définition de la cohomologie
29:38 Exemple de la sphère
46:00 Cup produit et structure d'anneau
55:35 Exemple : anneau de cohomologie du tore
1:15:18 Plan projectif et coefficients dans Z/2Z
1:39:20 Anneaux gradués commutatifs
1:44:25 Dualité de Poincaré
1:55:40 Exemple : tore et coefficients binomiaux
1:57:25 Théorie de l'intersection
2:04:10 Théorème de Bézout
2:10:25 Cohomologie de de Rham et formes différentielles
2:13:37 Conclusion et résumé